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est $\scriptstyle {\frac {2b^{2}}{3^{a}}}$, & $\scriptstyle {\sqrt[{4}]{aabb}}$ est $\scriptstyle {\sqrt {ab}}$. On a aussi $\scriptstyle b{\sqrt {aacc}}$ ou $\scriptstyle b\times {\sqrt {aacc}}=b\times ac=abc$ & $\scriptstyle 3c\times {\frac {3az}{5^{b}}}={\frac {9acz}{5^{b}}}$, & $\scriptstyle {\frac {\overline {a+3x}}{c}}{\sqrt {\frac {4bbx^{4}}{81aa}}}={\frac {\overline {a+3x}}{c}}\times {\frac {2bxx}{9a}}$ ou $\scriptstyle {\frac {2abxx+6bx^{3}}{9ac}}$. Je dis que dans ces cas l’extraction est évidente ; parce qu’on voit du premier coup-d’œil que les quantités proposées ont été engendrées par la multiplication des racines qu’on leur attribue, & que $\scriptstyle aa=a\times a$, $\scriptstyle aacc=ac\times ac$, $\scriptstyle 9aacc=3ac\times 3ac$, &c. Mais lorsque les quantités algébriques sont complexes ou sont composées de plusieurs termes, alors l’extraction s’en fait comme celle des nombres.

−aa + aab + bb		a + b
−aa
−a0 + 2ab + bb
−aa − 2ab − bb
−aa + 0ab + 0

Soit proposé d’extraire la racine quarrée de aa+ 2ab+bb. Ecrivez d’abord à la racine la racine quarrée du premier terme aa, savoir a. Soustrayez le quarré de a, il restera 2ab + bb. Pour trouver le reste de la racine, divisez le second terme 2ab, par le double de a ou par 2a ; & dites en 2ab, combien de fois 2a, vous trouverez b de fois ; b sera donc le second terme de la racine cherchée. Multipliez b par 2a + b, & soustrayez le produit. La soustraction faite, il ne reste rien : d’où il s’ensuit que a + b est la même racine exacte de aa + 2ab + bb.

Soit proposé d’extraire la racine quarrée de $\scriptstyle a^{4}+6a^{3}b+5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$. Mettez d’abord au quotient la racine quarrée aa du premier terme a⁴. Soustrayez le quarré de aa, il restera $\scriptstyle 6a^{3}b+5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$. Dites en $\scriptstyle 6a^{3}b$, combien de fois 2aa, vous trouverez 3ab ; écrivez donc 3ab à la racine. Multipliez 3ab par 2aa + 3ab, & soustrayez le produit $\scriptstyle 6a^{3}b+9aabb$. La soustraction faite, il restera $\scriptstyle -4aabb-12ab^{5}+4b^{4}$. Continuez l’opération, & dites derechef en $\scriptstyle -4aabb-12^{3}$, combien de fois 2aa+6ab, ou le double des deux premiers termes, vous trouverez −2bb. Ecrivez donc à la racine −2bb ; multipliez −2bb par 2aa+6ab−2bb, & soustrayez ce produit. La soustraction faite, il ne restera plus rien.

D’où il s’ensuit que la racine cherchée est $\scriptstyle aa+3ab-2bb$. Voici l’opération tout au long.

- $\scriptstyle a^{4}+6a^{3}b$	$\scriptstyle +5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$		$\scriptstyle aa+3ab-2bb$
$\scriptstyle -a^{4}$
- $\scriptstyle 0-6a^{3}b$	$\scriptstyle +5aabb-12ab^{3}+4b^{4}$
- 0 $\scriptstyle +6a^{3}b$	$\scriptstyle -9aabb$
$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -4aabb-12ab^{3}+4b^{4}$
	$\scriptstyle +4aabb+12ab^{3}-4b^{4}$
	+0 aabb 0 aaa -0

Pareillement la racine quarrée de $\scriptstyle xx-ax+{\frac {1}{4}}=x-{\frac {1}{4}}$ ; celle de $\scriptstyle y^{4}+4y^{3}-8y+4=2y+2y-2$ ; celle de $\scriptstyle 16a^{4}-24aaxx+9x^{4}+12bbxx-16aabb+4b^{4}=3xx-4aa+2bb$ : comme il paroît par ce qui suit.

-9x	$\scriptstyle xx-ax$	$\scriptstyle +{\frac {1}{4}}aa$		$\scriptstyle x-{\frac {1}{2}}a$
−	$\scriptstyle xx$
	x $\scriptstyle 0-ax$	$\scriptstyle +{\frac {1}{4}}aa$
	0	0

	$\scriptstyle 9x^{4}$	$\scriptstyle -24a^{2}x^{2}$	$\scriptstyle +16a^{4}$
		$\scriptstyle +12b^{2}x^{2}$	$\scriptstyle -16aabb$		$\scriptstyle 3x^{2}-4aa+2bb$
			$\scriptstyle +~4b^{4}$
−	$\scriptstyle 9x^{4}$
	0	$\scriptstyle -24a^{2}a^{2}$	$\scriptstyle +16a^{4}$
		$\scriptstyle +12b^{2}x^{2}$	$\scriptstyle -16a^{2}bb$
			$\scriptstyle +~4b^{4}$
		0	0
	$\scriptstyle y^{4}+4y^{3}$	$\scriptstyle -8y+4$			$\scriptstyle yy+2y-2$
−	$\scriptstyle y^{4}$
	$\scriptstyle 0+4y^{3}$	$\scriptstyle +4yy$
	0+ 0	$\scriptstyle -4yy$
		$\scriptstyle -4yy$	$\scriptstyle -8y+4$
		0	-80   0

Soit proposé d’extraire la racine cubique de $\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$. Voici comment cette opération se fait.

$\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$	|	$\scriptstyle a+b$
$\scriptstyle a^{3}$
$\scriptstyle 3aa$ | $\scriptstyle +3aab$ | $\scriptstyle b$
$\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$
a3 0 aab 0 abb + 0

Extrayez la racine cubique du premier terme a³, & vous aurez a ; mettez donc a à la racine. Soustrayez le cube de a ou a³, il restera $\scriptstyle 3aab+3abb+b^{3}$. Dites : combien de fois le quarré de a multiplié par 3, est-il dans 3aab ? Il vous viendra b de fois ; écrivez donc b à la racine. Soustrayez de $\scriptstyle a^{3}+3aab+3abb+b^{3}$, le cube de $\scriptstyle a+b$. La soustraction faite, il ne vous restera plus rien ; donc $\scriptstyle a+b$ est la racine que vous cherchiez. Pareillement $\scriptstyle z+2z-4$ sera la racine cubique de $\scriptstyle z^{6}+6z^{5}-40z^{3}+96z-64$ ; & ainsi des racines des puissances plus élevées. (E)

Sur l’extraction des racines des équations, voyez Cas irréductible, Equation, Racine, &c.

On peut extraire facilement par logarithmes les racines des quantités numériques ; c’est la méthode de tous les calculateurs. Voyez Logarithme.

Extraire la racine d’une quantité irrationnelle. Soit, par exemple, $\scriptstyle 3-2{\sqrt {2}}$, dont on veut extraire la racine quarrée, on supposera que $\scriptstyle x-{\sqrt {y}}$ soit la racine cherchée, & on aura $\scriptstyle xx+y-2x{\sqrt {y}}=3-2{\sqrt {2}}$ ; & faisant les parties rationnelles égales aux rationnelles, & les irrationnelles aux irrationnelles, on aura $\scriptstyle xx+y=3$, $\scriptstyle x{\sqrt {y}}={\sqrt {2}}$ ; d’où l’on tire $\scriptstyle x^{2}={\frac {2}{y}}$, & $\scriptstyle {\frac {2}{y}}=3$ ; donc $\scriptstyle yy-3y=-2$, & $\scriptstyle y={\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}=1$ ou 2 ; donc $\scriptstyle x^{2}=1$ ou 2 ; donc $\scriptstyle 1-{\sqrt {2}}$, ou $\scriptstyle {\sqrt {2}}-1$, est la quantité cherchée. On peut appliquer cette méthode aux cas plus composés. Voyez la science du calcul du P. Reyneau, l’Analyse démontrée du même auteur, l’Algebre de M. Clairaut, & d’autres ouvrages.

C’est par cette méthode d’extraire les racines des quantités irrationnelles, qu’on trouve souvent la racine commensurable d’une équation du troisieme degré ; car $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a+{\sqrt {b}}}}+{\sqrt[{3}]{a-{\sqrt {b}}}}$ exprimant la racine d’une telle équation, si on trouve $\scriptstyle x+{\sqrt {y}}$ pour la racine cubique de $\scriptstyle a+{\sqrt {b}}$, $\scriptstyle x-{\sqrt {y}}$ sera la racine cubique de $\scriptstyle a-{\sqrt {b}}$ ; ainsi la racine cherchée de l’équation sera 2x ; mais lorsque la racine est commensurable, il est plus court de la chercher par le moyen des diviseurs du dernier terme.

En général l’artifice de la méthode pour extraire les racines des quantités irrationnelles, c’est de les supposer égales à un polynome composé de radicaux & de quantités rationnelles inconnues, selon qu’on le jugera le plus convenable. On formera ensuite autant d’équations qu’on aura pris d’inconnues ; & chacune de ces équations doit avoir des racines commensurables, si le polynome qui représente la racine a été bien choisi. Ainsi la résolution de ces équations n’aura aucune difficulté.

Au reste le mot extraction se dit plus proprement & plus ordinairement de l’opération par laquelle on trouve les racines des quantités algébriques ou nu-