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parce que ni la somme, ni la différence de deux puissances de la même racine, ne peuvent se rappeller à un exposant commun, & qu’elles n’ont point d’expression plus simple que celle-ci, $\scriptstyle a^{m}\pm apn$. Mais elles ont d’ailleurs quelques propriétés particulieres, que je ne sache pas avoir jusqu’ici été remarquées, quoiqu’elles puissent trouver leur application. Elles ne seront point déplacées en cet article.

Premiere propriété. La différence de deux puissances quelconques de la même racine, est toûjours un multiple exact de cette racine diminuée de l’unité, c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a-1}}$ donne toûjours un quotient exact.

$\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{1}}{3}}={\frac {64-4}{3}}={\frac {60}{3}}=20$	sans reste.
$\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{0}}{3}}={\frac {64-1}{3}}={\frac {63}{3}}=21$

Observez en passant que dans le premier exemple $\scriptstyle 4^{3}-4^{1}=60={\overline {3\times 4\times 5}}$. Ce qui n’est point un hasard, mais une propriété constante de la différence des troisieme & premiere puissances, laquelle est toûjours égale au produit continu des trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine. $\scriptstyle a^{3}-a^{1}={\overline {a-1}}\times a\times {\overline {a+1}}$.

Seconde propriété. La différence de deux puissances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre pair ; c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a+1}}$ donne un quotient exact, quand $\scriptstyle m-n$ exprime un nombre pair. $\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{1}}{5}}={\frac {64-4}{5}}={\frac {60}{5}}=12$, sans reste, parce que $\scriptstyle 3-1=2$, nombre pair. Mais $\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{0}}{5}}={\frac {64-1}{5}}={\frac {63}{5}}$ laisse un reste, parce que $\scriptstyle 3-0=3$ n’est pas un nombre pair.

Troisieme propriété. La somme de deux puissances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre impair ; c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a+1}}$ donne un quotient exact, quand $\scriptstyle m-n$ exprime un nombre impair. $\scriptstyle {\frac {4^{3}+4^{0}}{5}}={\frac {64+1}{5}}={\frac {65}{5}}=13$, sans reste, parce que $\scriptstyle 3-0=3$, nombre impair. Mais $\scriptstyle {\frac {4^{3}+4^{1}}{5}}={\frac {64+4}{5}}={\frac {68}{5}}$ laisse un reste, parce que $\scriptstyle 3-1=2$ n’est pas un nombre impair.

Démonstration commune.

Si l’on compare $\scriptstyle a^{m}\pm a^{n}$, considéré d’une part comme dividende avec $\scriptstyle a\pm 1$, considéré de l’autre comme diviseur, il en résulte quatre combinaisons différentes ; savoir,

$\scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a-1}}$ * $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a-1}}$ * $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a+1}}$ * $\scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a-1}}$

.

Maintenant, si l’on vient à effectuer sur chacune la division indiquée, on trouvera (& c’est une suite des lois générales de la division algébrique)

1°. Que dans toutes les hypothèses, les termes du quotient (supposé exact) sont par ordre les puissances consécutives & décroissantes de a, depuis & y compris $\scriptstyle a^{m-1}$ jusqu’à $\scriptstyle a^{n}$ inclusivement ; d’où il suit que le nombre des termes du quotient exact, ou, ce qui est la même chose, l’exposant du rang de son dernier terme est $\scriptstyle m-n$.

2°. Que dans les deux premieres hypothèses les

termes du quotient ont tous le signe +, & que dans les deux dernieres ils ont alternativement & dans le même ordre les signes + & − ; de sorte que le signe + appartient à ceux dont l’exposant du rang est impair, & le signe − à ceux dont l’exposant du rang est pair.

3°. Que, pour rendre la division exacte, le dernier terme du quotient doit avoir le signe − dans les premiere & troisieme hypothèses, & le signe + dans la seconde & dans la quatrieme.

La figure suivante met sous les yeux le résultat des deux derniers articles. La ligne supérieure représente l’ordre des signes qui affectent les divers termes du quotient, relativement aux quatre différentes hypothèses ; l’inférieure marque le signe que doit avoir dans chacune le dernier terme du quotient, pour rendre la division exacte.

I. hypothese.	Seconde.	Troisieme.	Quatrieme.
+ . + . + . &c.	+ . + . + . &c.	+ . − . + . − . &c.	+ . − . + . − . &c.
−	+	−	+

La seule inspection de la figure fait voir que la division exacte ne peut avoir lieu dans la premiere hypothèse, puisqu’elle exige le signe-au dernier terme du quotient, & que tous y ont le signe+ ; que par une raison contraire elle a toûjours lieu dans la seconde ; qu’elle l’a dans la troisieme, quand l’exposant du rang du dernier terme, où (suprà) $\scriptstyle m-n$ est pair ; & dans la quatrieme, quand $\scriptstyle m-n$ est impair.

J’ai remarqué (& d’autres sans doute l’auront fait avant moi) que la différence des troisieme & premiere puissances de la même racine est égale au produit continu de trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine… $\scriptstyle r^{3}-r^{1}={\overline {r-1}}\times r^{1}\times {\overline {r+1}}$.

Cette propriété au reste dérive d’une autre ultérieure. Les exposans des deux puissances étant quelconques, pourvû que leur différence soit 2, on a généralement $\scriptstyle r^{m}-r^{n}={r-1}\times r^{n}\times {r+1}$ ; … & la démonstration en est aisée. Car dans le second membre le produit des extrèmes est $\scriptstyle rr-1$ : or si l’on multiplie le terme moyen $\scriptstyle r^{n}$ par $\scriptstyle rr-1$, on aura $\scriptstyle r^{n+2}-r^{n}$ : mais $\scriptstyle r^{n+2}=r^{m}$, puisque (par supposition) $\scriptstyle m-n=2$, d’où $\scriptstyle m=n+2$.

Ceci est peu de chose en soi : mais n’en pourroit-on pas faire usage, pour résoudre avec facilité toute équation d’un degré quelconque, qui aura ou à qui on pourra donner cette forme $\scriptstyle x^{m}-x^{n}-a=0$, de sorte que $\scriptstyle m-n$ y soit = 2, & dont une des racines sera un nombre entier.

En effet, cherchant tous les diviseurs ou facteurs de a, & pour plus de commodité les disposant par ordre deux à deux, de façon que chaque paire contienne deux facteurs correspondans de a, comme on voit ici ceux de 12 … $\scriptstyle {\begin{matrix}1~~.~2~.~3\\12~~~6~~~4\end{matrix}}$ … on est assûré qu’il s’en trouvera une paire qui sera $\scriptstyle {\begin{matrix}{\overline {x-1}}\times {\overline {x+1}}\\x^{n}\end{matrix}}$. Choisissant donc dans la ligne inférieure (que je suppose contenir les plus grands facteurs) ceux qui sont des puissances du degré n, ou bien il ne s’en trouvera qu’un, & dès-là sa n^ieme racine sera la valeur de x, ou il s’en trouvera plusieurs ; & alors les comparant avec leurs co-facteurs, on se déterminera pour celui dont le co-facteur est le produit de sa n^ieme racine diminuée de l’unité par la même racine augmentée de l’unité. Par exemple,
Soit l’équation à résoudre… $\scriptstyle x^{5}-x^{3}-3000=0$, on trouve que les facteurs de 3000 sont par ordre,

1	.	2	.	3	.	4	.	5	.	6	.	8	.	10	.	12	.
3000		1500		1000		750		600		500		375		300		250
15	.	20	.	24	.	25	.	30	.	40	.	50	.
200		150		125		125		100		75		60

En consultant, si on le juge nécessaire, la table