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1°. x étant évanoüie des équations $\scriptstyle axx+bx+c=0$, & $\scriptstyle fxx+gx+h=0$, il vient $\scriptstyle {\overline {ah-bg-2cf}}\times ah+{\overline {bh-cg}}\times bf+{\overline {agg+cff}}\times c=0$.

2°. La même inconnue x étant évanoüie des équations $\scriptstyle ax^{3}+bxx+cx+d=0$, & $\scriptstyle fxx+gx+h=0$, on en tire $\scriptstyle {\overline {ah-bg-2cf}}\times ahh+{\overline {bh-cg-2df}}\times$ $\scriptstyle fh+{\overline {ch-dg}}\times {\overline {agg+cff}}+{\overline {3agh+bgg+dff}}\times df=0$.

3°. Les équations $\scriptstyle ax^{4}+bx^{3}+cxx+dx+e=0$, & $\scriptstyle fxx+gx+h=0$, dont on fera évanoüir x, donneront $\scriptstyle {\overline {ah-bg-2cf}}\times ah^{3}+{\overline {bh-cg-2df}}\times$ $\scriptstyle bfhh+{\overline {agg+cff}}\times {\overline {chh-dgh+egg-2efg+3agh+bgg-dff}}\times dfh+$ $\scriptstyle {\overline {2ahh+3bgh-dfg+eff}}\times eff{\overline {-bg-2ah}}\times efgg=0$, &c.

Par exemple, pour faire évanoüir x, ou pour la chasser des équations $\scriptstyle xx+5x-3yy=0$, & $\scriptstyle 3xx-2xy+4=0$, on substituera respectivement dans la premiere regle, pour les quantités a, b, c, & f, g, h, les quantités 5, −3yy & 3, −2y, +4, en observant très-exactement de mettre, comme il convient, les signes + & − ; ce qui donnera $\scriptstyle {\overline {4+10y+18yy}}\times 4+{\overline {20-6y^{3}}}\times 15+{\overline {4yy-27yy}}\times -3yy=0$, ou $\scriptstyle 16+40y+72yy+300-90y^{3}+69y^{4}=0$.

De même, pour chasser y des équations $\scriptstyle y^{3}-xyy-3x=0$, & $\scriptstyle yy+xy-xx+3=0$, on n’a qu’à substituer dans la seconde regle, pour les quantités a, b, c, d, f, g, h, les quantités suivantes $\scriptstyle 1,~-x,~0,~-3x$ ; $\scriptstyle 1,~x,~-x,~x+3$ ; & il vient $\scriptstyle {\overline {3-xx+xx}}\times {\overline {9-6xx+x^{4}}}-$ $\scriptstyle {\overline {3x+x^{3}+6x}}\times {\overline {-3x+x^{3}}}+3xx\times$ $\scriptstyle xx+{\overline {9x-3x^{3}-x^{3}-3x}}\times -3x=0$ ; effaçant ensuite ce qui se détruit, & multipliant, on a $\scriptstyle 27-18xx+3x^{4}$, $\scriptstyle -9xx+x^{6}$, $\scriptstyle +3x^{4},~-18x^{2},~+12x^{4}=0$. Enfin ordonnant les termes, l’équation devient $\scriptstyle x^{6}+18x^{4}-45xx+27=0$.

Ces regles, qui se trouvent dans l’arithmétique universelle de M. Newton, peuvent être appliquées & portées à des degrés quelconques ; mais alors le calcul devient très-pénible, quoiqu’il y ait eu quelques personnes qui se soient donné la peine de chercher une regle générale, pour chasser d’une équation des quantités inconnues élevées à des degrés quelconques. Mais l’application de la regle générale aux cas particuliers est souvent beaucoup plus embarrassante, qu’il ne le seroit de faire évanoüir les inconnues par la méthode ordinaire.

M. Newton n’a point démontré comment il a découvert ces regles, parce qu’elles sont une conséquence très-simple de ce qui a été dit ; par exemple, on a dans le premier cas $\scriptstyle xx+{\frac {bx}{a}}=0$ ; & $\scriptstyle xx+{\frac {gx}{f}}+{\frac {h}{f}}$, par conséquent $\scriptstyle {\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}={\frac {gx}{f}}+{\frac {h}{f}}$ : d’où l’on tire $\scriptstyle x={\frac {ah-ef}{bf-ag}}$ ; & si l’on met cette valeur de x dans l’équation $\scriptstyle axx+bx+c=0$, on trouvera $\textstyle {\frac {a^{3}hh-2a^{2}cfh+ac^{2}f^{2}}{{\overline {bf-ag}}\times {\overline {bf-ag}}}}\scriptstyle +{\frac {abh-bcf}{bf-ag}}+c=0$ ; & après avoir délivré cette équation de fractions, & l’avoir réduite à ses plus simples termes, elle deviendra $\scriptstyle {\overline {ah-bg-2cf}}\times ah+{\overline {bh-cg}}\times bf+{\overline {agg+cff}}\times c=0$. Les deux autres regles se découvriront de la même maniere ; mais le travail croîtra à proportion des degrés des inconnues. (E)

A ces méthodes, pour faire évanoüir les inconnues, nous ajoûterons les observations suivantes.

Si l’on a, par exemple, $\scriptstyle y^{3}=xyy+abx$ & $\scriptstyle y^{3}=qxx+fxy+c^{3}$, c’est-à-dire deux équations

où y monte au même degré ; on aura d’abord

$\scriptstyle xyy+abx=qxx+fxy+c^{3}$ ; équation où y ne monte plus qu’au second degré, & d’où l’on tire $\scriptstyle yy={\frac {qxx+fxy+c^{3}-abx}{x}}$, & $\scriptstyle y^{3}={\frac {yqxx+fx^{2}+cy^{3}-abxy}{x}}=qxx+fxy+c^{3}=xyy+abx$ ; on aura donc les deux équations,

$\scriptstyle xyy+abx=qxx+fxy+c^{3}$,

$\scriptstyle xyy+abx={\frac {yqxx+fxy^{2}+cy^{3}-abxy}{x}}$,

qui ne montent plus qu’au second degré, & qu’on abaissera à un degré plus bas, par la méthode employée ci-dessus pour abaisser les deux équations données du troisieme degré à deux autres du second. Cet exemple bien entendu & bien médité suffira pour enseigner à résoudre tous les autres ; car en général ayant deux équations en y du degré m, ou qu’on peut mettre toutes deux au degré m, si on veut faire évanoüir y, on tirera d’abord de la comparaison des deux équations données une équation du degré m−1, d’où l’on tirera une valeur de $\scriptstyle y^{m-1}$ en $\scriptstyle y^{m-2}$ ; & cette valeur de $\scriptstyle y^{m-1}$ étant substituée dans l’une des deux équations primitives, on aura une nouvelle équation en $\scriptstyle y^{m-1}$. Ainsi, au lieu des deux équations primitives en $\scriptstyle y^{m}$, on en aura deux en $\scriptstyle y^{m-1}$, sur lesquelles on opérera de même, & ainsi de suite.

Lorsqu’on sera arrivé à deux équations où y ne sera plus qu’au second degré, on peut, par la méthode précédente, abaisser encore ces équations à deux du premier, & alors le problème n’aura aucune difficulté ; ou bien on peut résoudre ces équations du second degré par la méthode ordinaire (voyez Equation), comparer ensuite les valeurs de y qui en résulteront, ôter enfin les radicaux du second degré par la méthode expliquée plus haut ; & il n’y aura plus qu’une inconnue sans radicaux.

On peut encore s’y prendre de la maniere suivante, pour faire en général évanoüir y de deux équations quelconques ; on remarquera que les deux équations doivent avoir un diviseur commun ; on supposera donc qu’elles en ayent un ; on divisera la plus haute équation par la seconde, la seconde par le reste, le premier reste par le second, &c. suivant les regles connues pour trouver le plus grand diviseur commun de deux quantités (voyez Diviseur), jusqu’à ce qu’on arrive à un reste qui ne contienne plus de y ; on fera ce reste =0, & on aura l’équation cherchée où il n’y aura plus qu’une inconnue. Ce reste supposé égal à zéro, donnera pour diviseur commun aux deux équations l’équation linéaire ou du premier degré en y, qui dans ce cas aura été le diviseur de la derniere opération.

Quand il y a plus de deux inconnues, par exemple, x, y, z, &c. on réduit d’abord les inconnues à une de moins ; on fait évanoüir x ou y, &c. en traitant z & les autres comme une constante ; ensuite on réduit les inconnues restantes à une de moins, & ainsi du reste. Cela n’a aucune difficulté.

Dès qu’on sait réduire toutes les inconnues à une seule, il n’y a plus de difficulté pour faire évanoüir les radicaux quelconques, par exemple, soit $\scriptstyle {\sqrt {x}}+{\sqrt[{3}]{y+a}}=a$, & $\scriptstyle x+{\sqrt[{5}]{y+b}}=c$, on fera $\scriptstyle {\sqrt {x}}=z$, ou $\scriptstyle x=z^{2}$, $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{y+a}}=t$, ou $\scriptstyle y+a=t^{3}$, $\scriptstyle {\sqrt[{5}]{y+b}}=q$, ou $\scriptstyle y+b=q^{5}$, & on aura les équations suivantes : $\scriptstyle x=z^{2}$, $\scriptstyle y+a=t^{3}$, $\scriptstyle y+b=q^{5}$, $\scriptstyle z+t=a$, $\scriptstyle x+q=c$, desquelles on fera évanoüir t, z, q, ce qui les réduira à des équations sans radicaux, où il n’y aura plus que x & y. Voyez Radical, Racine, Extraction, &c.

Au reste il y a bien des cas où l’on peut par de