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7°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que $\scriptstyle (x+1)^{2}+4$ fût =0, on auroit $\scriptstyle x=-1+{\sqrt {-4}}$ ; & $\scriptstyle x=-1-{\sqrt {-4}}$ ; valeurs imaginaires qui indiquent que l’énoncé de la question est absurde, & qu’il n’est pas possible de la résoudre. Mais, dira-t-on, pourquoi deux racines imaginaires ? une seule suffiroit pour avertir de l’absurdité. Je réponds que les deux imaginaires avertissent que la question est absurde non-seulement dans son énoncé, mais même dans tout autre qu’on lui substitueroit, c’est-à-dire en mettant $\scriptstyle x-1$ ou $\scriptstyle 1-x$ à la place de $\scriptstyle x+1$. En effet $\scriptstyle {\overline {1-x}}^{2}+4=0$, ou $\scriptstyle {\overline {x-1}}^{2}+4=0$, donne $\scriptstyle x=1-{\sqrt {-4}}$ & $\scriptstyle x=1+{\sqrt {-4}}$ ; racines imaginaires & de signe contraire aux précédentes, parce que l’énoncé de la question, quoique changé, demeure impossible.

8°. Ainsi, quand une équation n’a que des racines négatives ou fausses, cela indique que le problème est impossible dans le sens direct, mais non pas dans un autre sens ; au lieu que quand elle n’a que des racines imaginaires, cela indique que le problème est impossible dans quelque sens qu’on le présente. Quand les racines sont réelles & incommensurables, cela indique que le problème n’a point de solution numérique exacte, mais qu’on peut trouver un nombre qui approche aussi près qu’on voudra des conditions proposées ; donc les racines négatives, imaginaires & incommensurables, désignent différentes especes d’impossibilité dans la solution, mais d’impossibilité plus ou moins entiere, plus ou moins absolue.

9°. Mais quand les racines imaginaires sont mêlées avec des racines réelles, qu’est-ce qu’indiquent alors ces racines imaginaires ? Par exemple, $\scriptstyle u^{3}-b^{3}=0$, a pour racine réelle $\scriptstyle u-b$, & deux autres racines imaginaires qui sont celles de l’équation $\scriptstyle uu+bu+bb=0$, comme on l’a vû au mot Cas irréductible. Ces deux racines imaginaires, dira-t-on, paroissent ici bien inutiles. Je réponds que ces deux imaginaires ne sont point de trop ; elles indiquent que s’il y avoit une quantité u, telle que $\scriptstyle uu+bu+bb$ pût être égal à zéro, le cube de cette quantité u seroit égal à $\scriptstyle b^{3}$. Voilà, ce me semble, tout ce qui regarde les racines des équations suffisamment éclairci ; passons à d’autres observations.

Il y a quelques remarques à faire sur la maniere dont on résoud ordinairement les équations du 2^d degré : soit $\scriptstyle xx-px=q$, on en conclud tout de suite $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$ ; mais, dira-t-on, pourquoi fait-on $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}$ positif égal à la quantité négative $\scriptstyle -{\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$ ? il est bien vrai que deux quarrés égaux donnent des racines égales ; mais ce doit être des racines de même signe : cela est évident ; car de ce que $\scriptstyle 4=4$, en conclura-t-on que $\scriptstyle 2=-2$ ? D’ailleurs $\scriptstyle {\frac {p}{2}}-x$ est aussi-bien que $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}$ la racine de $\scriptstyle xx-px+{\frac {pp}{4}}$ ; on devroit donc avoir $\scriptstyle \mp x\pm {\frac {p}{2}}=\mp {\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$. Je réponds, 1°. que cette derniere équation donne les quatre suivantes $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}={\sqrt {{\frac {pp}{q}}+q}}$, $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}=-{\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$, $\scriptstyle {\frac {p}{2}}-x=-{\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$, $\scriptstyle {\frac {p}{2}}-x={\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$ : or les deux dernieres sont évidemment les mêmes que les deux premieres ; il suffit donc de prendre le double signe ± dans un des membres, & non dans les deux à la fois. 2°. J’aimerois mieux résoudre l’équation en raisonnant de cette sorte : La racine quarrée de $\scriptstyle xx-px+{\frac {pp}{4}}$ est $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}$, si $\scriptstyle x>{\frac {p}{2}}$ ; & $\scriptstyle {\frac {p}{2}}-x$, si $\scriptstyle x<{\frac {p}{2}}$ : dans le premier cas, on a $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}={\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$ ; dans

le second, on a

$\scriptstyle {\frac {p}{2}}-x={\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$ : ce sont ces deux cas très-distincts & très-clairement énoncés de cette maniere, qu’on énonce tous les deux ensemble implicitement, & si je l’ose dire, obscurément, en écrivant $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$. Les inventeurs de l’Algebre ont imaginé cette expression pour abréger ; & cette expression commode rend la métaphysique plus obscure. Voyez sur cela ce qui a été dit au mot Elémens des Sciences.

Si on avoit $\scriptstyle xx+px=q$, alors on trouveroit, en suivant le raisonnement précédent, $\scriptstyle x+{\frac {p}{2}}={\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$, ce qui ne donneroit que la racine positive ; à l’égard de la racine négative ou fausse, on n’en a que faire, puisqu’elle ne résout pas le probleme ; cependant on auroit cette racine, si on vouloit, en changeant l’énoncé de la question suivant les regles données ci-dessus ; ce qui donneroit $\scriptstyle xx-px=q$ & $\scriptstyle {\frac {p}{2}}-x$, ou $\scriptstyle x-{\frac {p}{2}}={\sqrt {{\frac {pp}{4}}+q}}$.

On voit donc que par cette maniere que je propose de résoudre les équations du second degré, on sépareroit les raoines positives nécessaires d’avec les inutiles, les vraies d’avec les fausses, &c. cette méthode s’appliqueroit aux autres degrés, si on avoit une regle générale pour résoudre toute équation : mais la regle dont il s’agit est encore à trouver.

J’ai donné au mot Cas irréductible une théorie suffisante & neuve presque à tous égards de la résolution des équations du troisieme degré ; j’y renvoye le lecteur. Je n’y ai supposé qu’une proposition, c’est que si le second terme d’une équation du troisieme degré est nul, & que les trois racines soient réelles, le troisieme terme a toûjours le signe −. La question se réduit à prouver que si a+b+c=0, a, b, c, étant de tel signe qu’on voudra, & réelles, (voyez Coefficient), on aura ab+ac+bc négative, c’est-à-dire −aa−ac−cc négative, ce qui est évident ; donc si le troisieme terme est positif, il y a deux racines imaginaires. Nous rappellerons ici ce qui a été remarqué dans l’errata du troisieme volume, qu’à l’article Cas irréductible, l’imprimeur a mis par-tout 2y pour 27 ; cette faute d’impression ne peut embarrasser que les premiers commençans. Du reste on trouvera dans cet article, ou explicitement, ou implicitement, toute la théorie des équations du troisieme degré. Passons au quatrieme degré. Soit $\scriptstyle x^{4}+qx^{2}+rx+s=0$, une équation à résoudre, on suppose qu’elle soit le produit de $\scriptstyle xx+yx+z=0$, & $\scriptstyle xx-yx+u=0$ ; & on trouve, en multipliant ces deux équations l’une par l’autre, & comparant le produit terme à terme avec la proposée, les équations suivantes :

$\scriptstyle z={\frac {qy+y^{3}-r}{2y}}$

$\scriptstyle {\frac {qy+y^{3}-r}{2y}}={\frac {2sy}{qy-y^{3}+r}}$, ou

$\scriptstyle y^{6}+2qy^{4}+q^{2}y^{2}-rr=0$

$\scriptstyle -4sy^{2}$

$\scriptstyle u={\frac {s}{z}}={\frac {2sy}{qy+y^{3}-r}}={\frac {qy}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {r}{2y}}$

L’équation $\scriptstyle y^{6}$, &c. =0, étant du sixieme degré a six racines ; & les équations $\scriptstyle xx+yx+z=0,~xx-yx+u=0$, en donnant chacune deux pour chaque valeur de y ; voilà donc, dira-t-on, vingt-quatre racines, quoique, suivant la théorie connue, l’équation $\scriptstyle x^{4}$, &c. ne doive avoir que quatre racines possibles. Je vais montrer que ces vingt-quatre racines se réduisent à quatre.

1°. Dans l’équation $\scriptstyle y^{6}$, &c. =0, où tous les ter-