nommera AB, x, CD, a, & BC ou BD, b ; ensuite tirant AC, on remarquera que les triangles ABC & CBE sont semblables, & qu’ainsi AB:BC∷BC:BE, ou x:b∷b:BE ; donc & ou ; & comme l’angle CEB est un angle droit, , c’est-à-dire . Cette équation étant résolue donnera le diametre cherché x. Si c’est la base qu’on demande, on fera AB=c, CD=x, & BC ou BD=b ; ensuite on tirera AC, & les triangles semblables ABC & CBE donneront AB:BC∷BC:BE, ou c b∷b:BE.
Donc & ou ; & comme l’angle CBE est droit, on aura ; donc . D’où l’on tirera la valeur de la base cherchée x.
Enfin si les côtés BC & BD sont supposés inconnus, on fera AB=c, CO=a, & BC ou BD=x, on tirera ensuite AC ; & à cause des triangles semblables ABC & CBE, on aura AB:BC∷BC:BE ou c:x∷x:BE ; donc , ou , & l’angle droit CBE donnera , c’est-à-dire ; équation qui étant résolue donnera la valeur x d’un des côtés cherchés.
On voit par-là que le calcul pour arriver à l’équation, & l’équation elle-même, sont semblables dans tous les cas, excepté que les mêmes lignes y sont désignées par des lettres différentes selon les données & les inconnues que l’on suppose. Il est vrai que la différence des données fait que la résolution des équations est différente ; mais elle ne produit point de changement dans l’équation même. Ainsi on n’est point absolument obligé de prendre telle ou telle quantité pour inconnue ; mais on est le maître de choisir pour données & pour inconnues les quantités qu’on croit les plus propres à faciliter la solution de la question.
3°. Un problème étant donc proposé, il faut commencer par comparer entr’elles les quantités qu’il renferme, & sans faire aucune distinction entre les connues & les inconnues, examiner le rapport qu’elles ont ensemble, afin de connoître quelles sont celles d’entr’elles qui peuvent faire trouver plus facilement les autres. Dans cet examen il n’est pas nécessaire de s’assûrer par un calcul algébrique exprès, que telles ou telles quantités peuvent être déduites de telles ou telles autres ; il suffit de remarquer en général qu’on peut les en tirer par le moyen de quelque connexion directe qui est entr’elles.
Par exemple, si on donne un cercle dont le diametre soit AD (fig. 8. algébr.) & dans lequel soient inscrites trois lignes AB, BC, CD, desquelles on demande BC, les autres étant connues, il est évident au premier coup-d’œil que le diametre AD détermine le demi-cercle, & que les lignes AB & CD, qu’on suppose inscrites dans le cercle, déterminent aussi les points B & C, & que par conséquent la ligne cherchée BC a une connexion directe avec les lignes données. Voilà dequoi il suffit de s’assûrer d’abord, sans examiner par quel calcul analytique la valeur de la ligne BC peut être réellement déduite de la valeur des trois lignes données.
4°. Après avoir examiné les différentes manieres dont on peut composer & décomposer les termes de la question, il faut se servir de quelque méthode synthétique, en prenant pour données certaines lignes, par le moyen desquelles on puisse arriver à la connoissance des autres, de maniere que le retour de
celles-ci aux premieres soit plus difficile ; car quoiqu’on puisse suivre dans le calcul différentes routes, cependant il faut le commencer par bien choisir ses données ; & une question est souvent plus facile à résoudre, en choisissant des données qui rendent les inconnues plus faciles à trouver, qu’en considérant le problème sous la forme actuelle sous laquelle il est proposé.
Ainsi, dans l’exemple que nous venons de donner, si on propose de trouver AD, les trois autres lignes étant connues, je vois d’abord que ce problème est difficile à résoudre synthétiquement ; mais que cependant s’il étoit ainsi résolu, je pourrois facilement appercevoir la connexion directe qui est entre cette ligne & les autres. Je prends donc AD pour donnée, & je commence à faire mon calcul comme si elle étoit en effet connue, & que quelqu’une des autres quantités AB, BC ou CD, fût inconnue ; combinant ensuite les quantités données avec les autres, j’aurai toûjours une équation en comparant entr’elles deux valeurs de la même quantité : soit que l’une de ces valeurs soit une lettre par laquelle cette quantité aura été marquée, en commençant le calcul ; & l’autre, une expression de cette quantité qu’on aura trouvée par le calcul même, soit que les deux valeurs ayent été trouvées chacune par deux différens calculs.
5°. Ayant ainsi comparé en général les termes de la question entr’eux, il faut encore de l’art & de l’adresse pour trouver parmi les connexions ou relations particulieres des lignes, celles qui sont les plus propres pour le calcul ; car il arrive souvent que tel rapport qui paroît facile à exprimer algébriquement, quand on l’envisage au premier coup-d’œil, ne peut être trouvé que par un long circuit ; de maniere qu’on est quelquefois obligé de recommencer une nouvelle figure, & de faire son calcul pas-à-pas, comme on pourra s’en assûrer en cherchant BC par le moyen de AD, AB & CD. Car on ne peut y parvenir que par des propositions dont l’énoncé soit tel, qu’elles puissent être rendues en langage algébrique, & dont quelques-unes peuvent se tirer d’Euclide. Ax. 19. proposit. 4. L. VI. & proposit. 47. L. I. element.
Pour parvenir plus aisément à connoître les rapports des lignes qui entrent dans une figure, on peut employer différens moyens : en premier lieu, l’addition & la soustraction des lignes ; car par les valeurs des parties on peut trouver celles du tout, ou par la valeur du tout & par celle d’une des parties, on peut connoître la valeur de l’autre partie : en second lieu, par la proportionnalité des lignes ; car, comme nous l’avons déjà supposé dans quelques exemples ci-dessus, le rectangle des termes moyens d’une proportion, divisé par un des extrèmes, donne l’autre, ou ce qui est la même chose, si les valeurs de quatre quantités sont en proportion, le produit des extrèmes est égal au produit des moyens. Voyez Proportion. La meilleure maniere de trouver la proportionnalité des lignes, est de se servir des triangles semblables ; & comme la similitude des triangles se connoît par l’égalité de leurs angles, l’analyste doit principalement se rendre ce point familier. Pour cela il doit posséder les proposit. 5, 13, 15, 29. 32 du premier livre d’Euclide ; les proposit. 4, 5, 6, 7, 8, du livre VI. & les 20, 21, 22, 27 & 31 du livre III. On peut y ajoûter la troisieme proposit. du livre VI. ou les proposit. 35 & 36 du livre III. Troisiemement, on fait aussi beaucoup d’usage de l’addition & de la soustraction des quarrés, sur-tout lorsqu’il se trouve des triangles rectangles dans la figure. On ajoûte ensemble les quarrés des deux petits côtés pour avoir le quarré du grand, ou du quarré du plus grand côté on ôte le quarré d’un des côtés, pour avoir le quarré de l’autre. C’est sur ce petit nombre
