On dira-divisé par-= +, ensuite 24 divisé par 8 = 3 ; enfin divisé par : ensorte que le quotient de cette division est ; car le diviseur multiplié par le quotient + , redonne le dividende .
On exprime aussi quelquefois une division algébrique en forme de fraction ; ainsi abc divisé par ac s’écrit , en ôtant ce qui se détruit, c’est-à-dire en supprimant les lettres communes au numérateur & au dénominateur.
Quoiqu’il soit vrai en général que l’on doive supprimer les lettres communes au dividende & au diviseur, il ne faut pourtant pas se persuader que ; car le quotient de cette division = 1. Toutes les lettres disparoissent véritablement, ainsi que le prescrit la regle ; mais il faut toûjours supposer qu’une grandeur algébrique est précédée du coefficient 1 ; ainsi .
En effet diviser abc par abc, c’est déterminer combien de fois abc est contenu dans abc. Or toute grandeur est contenue une fois dans elle-même ; ainsi ; donc en général une quantité quelconque divisée par elle-même donne toûjours 1 au quotient.
On indique encore plus volontiers la division algébrique sous la forme d’une fraction, quand le dividende & le diviseur n’ont rien de commun, ou qu’ils ont seulement quelques quantités communes. Ainsi 3 ac divisé par ; de même 6 dt à diviser par , en chassant la quantité 2 d, qui est un produisant ou un commun facteur au dividende & au diviseur.
Pour diviser le polynome par , on arrangera les termes, comme on le voit dans l’opération, selon les degrés de la lettre a qui paroît dominer.
| - | + | - | |||||||
| - | + | - | |||||||
| - | + | ||||||||
| + | - | ||||||||
| 0 | 0 |
Et divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, on écrit au quotient, par lequel on multiplie tout le diviseur. Le produit qui en résulte est retranché du dividende, & l’on continue à diviser le reste, après avoir descendu le terme du dividende, le quotient total doit être : ce que l’on vérifiera en multipliant ce quotient par le diviseur ,dont le produit doit redonner le dividende.
S’il s’agit de diviser par ; on ordonnera les termes du dividende & du diviseur, suivant les degrés de la lettre x. Comme il y a deux termes au dividende où cette lettre est élevée au même degré, on pourra écrire ces deux termes l’un sous l’autre, de même que les deux termes où la lettre d’origine ne se trouve pas.
| + | - | - | - | - | |||||||||||||
| - | + | - | - | ||||||||||||||
| - | + | - | |||||||||||||||
| + | - | ||||||||||||||||
| - |
En divisant donc le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, le
quotient est par lequel on multiplie tout le diviseur, ce qui donne , que l’on écrit sous le dividende, en changeant les signes de ce produit pour en faire la soustraction ou la réduction, comme on le voit exécuté dans l’opération : cette réduction étant faite, on opere sur le reste , en divisant toûjours le premier terme de ce reste par le premier terme du diviseur, dont le quotient est-3 s, par lequel on multiplie tout le diviseur pour en retrancher le produit de ce qui est resté après la premiere division, & l’on a un second reste , lequel n’ayant point de facteurs communs avec le diviseur, fait voir que la division ne sauroit se faire exactement : ainsi on le disposera à la suite du quotient, au-dessus d’une petite ligne, sous laquelle on écrira le diviseur.
Pour la division par les logarithmes, voyez Logarithme.
La division géométrique regarde les lignes droites, & est utile dans la construction des problèmes plans ; par exemple, un rectangle étant donné, ainsi qu’une ligne droite, trouver une autre ligne droite telle que le rectangle formé par cette ligne & la droite donnée, soit égal au rectangle donné.
On résoud ces sortes de problèmes par la regle de trois, en disant : la ligne donnée est à un côté du rectangle donné, comme l’autre côté de ce rectangle est à la ligne cherchée.
C’est ainsi que M. Descartes explique le moyen de faire une division géométrique avec la regle & le compas.
Supposons que la ligne ac = 6 (Pl. de Géomét. figure 27.) soit à diviser par la ligne ad = 3. Prenez un angle à volonté : portez ensuite le diviseur ad = 3 sur l’un des còtés de cet angle, en partant du sommet, & prenez tout de suite sur le même côté au = 1 ; après cela portez sur l’autre côté de l’angle, en partant toûjours du sommet, le dividende ac = 6, & joignez les points d, c par la ligne dc ; après quoi par le point u vous tirerez la ligne ub parallelement à dc, laquelle déterminera la ligne ab, qui sera le quotient cherché ; car à cause des triangles semblables a d c, a u b, vous aurez a d : a c :: a u : a b ou a c. a d :: a b. a u. Donc . Donc la ligne ab exprime la division de ac par ad ; puisque le dividende ac est au diviseur ad, comme le quotient ab est à l’unité. (E)
Dans la division, le dividende est au diviseur comme le quotient est à l’unité ; ou le dividende est au quotient, comme le diviseur est à l’unité : c’est-là la vraie notion de la division, & la plus générale qu’on puisse en donner, comme on s’en convaincra par ce que nous allons dire. Remarquons d’abord que ces deux proportions qui paroissent les mêmes, ne le sont cependant pas, absolument parlant ; car le dividende est toûjours censé un nombre concret (voy. Concret) ; & le diviseur peut être ou un nombre concret ou un nombre abstrait. Dans le premier cas, le quotient sera un nombre abstrait, & c’est la premiere proportion qui a lieu. Par exemple, si je divise 6 sous (nombre concret) par 2 sous (nombre concret), le quotient est un nombre abstrait 3, c’est-à-dire qui indique, non un nombre de sous, mais le nombre de fois que le dividende contient le diviseur, & on a cette proportion ; 6 sous est à 2 sous, comme le nombre abstrait 3 est à l’unité abstraite 1 : on ne pourroit pas dire 6 sous (dividende & nombre concret) est au quotient 3 (nombre abstrait), comme 2 sous (diviseur & nombre concret) est à 1 (nombre abstrait) ; du moins cette proportion ne porteroit aucune idée nette dans l’esprit, parce qu’un nombre concret & un nombre abstrait étant de différens
