les droites BH & BI aux foyers, leur somme sera égale au grand axe ; & si l’on divise par la ligne Ba l’angle IBH que font ces deux lignes, en deux parties égales, cette ligne Ba sera perpendiculaire à l’ellipse dans le point B.
9°. Un corps décrivant l’ellipse DFK autour du foyer H, est dans sa plus grande distance à ce foyer H, lorsqu’il est en K ; dans sa plus petite, lorsqu’il est en D ; & dans ses moyennes distances, lorsqu’il est on F & en E.
10°. De plus, cette moyenne distance FH & EH est égale à la moitié du grand axe.
11°. L’aire d’une ellipse est à celle du cercle circonscrit DmK, comme le petit axe est au grand axe. Il en est de même de toutes les parties correspondantes MIK, miK de ces mêmes aires. Cette propriété suit de celle-ci, que chaque demi-ordonnée MI de l’ellipse, est à la demi-ordonnée mI du cercle dans la raison du petit axe au grand. Ce seroit le contraire, si on comparoit un cercle à une ellipse circonscrite, c’est-à-dire qui auroit pour petit axe le diametre de ce cercle.
12°. Tous les parallélogrammes décrits autour des diametres conjugués des ellipses, sont égaux entr’eux. Le parallélogramme αβγδ (fig. 14.) par exemple, est égal au parallélogramme εζηθ. M. Euler a étendu cette propriété à d’autres courbes. Voyez le premier volume de l’histoire Françoise de l’académie de Berlin, 1745.
13°. Si la ligne droite BI passant par l’un des foyers, se meut en telle sorte que l’aire qu’elle décrit soit proportionnelle au tems, le mouvement angulaire de BH autour de l’autre foyer, lorsque l’ellipse ne differe pas beaucoup du cercle, est fort approchant d’être uniforme ou égal. Car dans une ellipse qui differe peu d’un cercle, les secteurs quelconques BID, FID, &c. sont entr’eux à très-peu près comme les angles correspondans BHD. Voyez Inst. astron. de M. le Monnier, pag. 506. & suiv.
Description de la parabole. YLK (figure 15. sect. coniq.) est une équerre dont on fait mouvoir la branche YL le long d’une regle fixe YI ; PF est un fil dont une extrémité est attachée en X à cette équerre, & l’autre en F à un point fixe F. Si pendant le mouvement de cette équerre on tend continuellement le fil par le moyen d’un stylet P, qui suive toûjours l’équerre, le stylet décrira la courbe appellée parabole.
La ligne LI est nommée la directrice ; F le foyer ; le point T qui divise en deux parties égales la perpendiculaire FI à la directrice, est le sommet de la parabole. La droite TF, prolongée indéfiniment, l’axe.
Toute ligne comme ni parallele à l’axe, est appellée un diametre. Les lignes comme Hl terminées à deux points H, l de l’ellipse, & menées parallelement à la tangente au sommet d’un diametre, sont les ordonnées à ce diametre. Les parties iq sont les abscisses. Le quadruple de la distance du point i au point F, est le parametre du diametre in : d’où il suit que le quadruple de FT est le parametre de l’axe, qu’on appelle aussi le parametre de la parabole.
Propriétés de la parabole. 1°. Les ordonnées à un diametre quelconque, sont toûjours coupées en deux parties égales par ce diametre.
2°. Les ordonnées à l’axe lui sont perpendiculaires, & sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diametre ; les autres sont d’autant plus obliques, que le diametre dont elles sont les ordonnées, est plus éloigné de l’axe.
3°. Le quarré d’une demi-ordonnée quelconque ql, est égal au rectangle de l’abscisse correspondante iq, par le parametre du diametre in de ces ordonnées : c’est de cette égalité qu’est tiré le nom de la
4°. Le parametre de la parabole, c’est-à-dire le parametre de l’axe, est égal à l’ordonnée à l’axe, laquelle passe par le foyer F, & se termine de part & d’autre à la parabole.
5°. La distance PF d’un point quelconque P de la parabole au foyer F, est égale à la distance PL du même point à la directrice LI : cette propriété suit évidemment de la description de la courbe.
6°. Lorsque l’abscisse est égale au parametre, la demi-ordonnée est aussi de la même longueur.
7°. Les quarrés de deux ordonnées au même diametre, qui répondent à deux différens points de la parabole, sont entre eux dans la même proportion que les deux abscisses de ces ordonnées.
8°. L’angle hin entre la tangente ht au point quelconque i, & le diametre in au même point, est toûjours égal à l’angle tiF, que cette tangente fait avec la ligne iF tirée au foyer. Ainsi, si Hil représente la surface d’un miroir, exposée aux rayons de lumiere de maniere qu’ils viennent parallelement à l’axe, ils seront tous refléchis au point F, où ils brûleront par leur réunion : c’est ce qui fait qu’on a nommé ce point le foyer. Voyez Miroir ardent.
9°. La parabole est une courbe qui s’étend à l’infini à droite & à gauche de son axe.
10°. La parabole à mesure qu’elle s’éloigne du sommet, a une direction plus approchante du parallelisme à l’axe, & n’y arrive jamais qu’après un cours infini.
11°. Si deux paraboles ont le même axe & le même sommet, leurs ordonnées à l’axe répondant aux mêmes abscisses, seront toûjours entr’elles en raison sous-doublée de leurs parametres, ainsi que les aires terminées par ces ordonnées.
12°. La valeur d’un espace quelconque iqH, renfermé entre un arc de parabole, le diametre iq au point i, & l’ordonnée Hq au point H, est toûjours le double de l’espace ihH renfermé entre le même arc iH, la tangente ih, & le parallele hH à iq ; ou ce qui revient au même, l’espace iHq est toûjours les deux tiers du parallélogramme circonscrit.
13°. Si d’un point quelconque H de la parabole, on mene une tangente Hm à cette courbe, la partie im comprise entre le point où cette tangente rencontre un diametre quelconque & le point i sommet de ce diametre, est toûjours égale à l’abscisse iq, qui répond à l’ordonnée qH de ce diametre pour le point H.
14°. Toutes les paraboles sont semblables entre elles & de la même espece, ainsi que les cercles.
15°. Si on fait passer un diametre par le concours de deux tangentes quelconques, ce diametre divisera en deux parties égales la ligne qui joint les deux points de contact : cette propriété est commune à toutes les sections coniques.
Description de l’hyperbole. La regle IBT (fig. 16.) est attachée au point fixe I, autour duquel elle a la liberté de tourner. A l’extrémité T de cette regle est attaché un fil HBT, dont la longueur est moindre que IT ; l’autre bout de ce fil est attaché à un autre point fixe H, dont la distance au premier I est plus grande que la différence qui est entre le fil & la regle IT, & plus petite que la longueur de cette regle. Cela posé, si pendant que la regle IT tourne autour du point I on tend continuellement le fil par le moyen d’un stylet qui suive toûjours cette regle, ce stylet décrira la courbe appellée hyperbole.
Les points H & I sont appellés les foyers. Le point C qui divise en deux parties égales l’intervalle IH est le centre. Le point D qui est celui où tombe le point B, lorsque la regle IT tombe sur la ligne IH, est le sommet de l’hyperbole. La droite DK double de DC, est l’axe transverse, la figure SKL égale & semblable à BDT, que l’on décriroit de la même maniere
