Entre deux lignes droites données trouver une moyenne proportionnelle. Portez chacune des deux lignes données sur la ligne des parties égales du compas de proportion, afin de savoir le nombre que chacune en contient ; & supposé, par exemple que la moindre ligne soit de 20 parties égales, & la plus grande de 45, portez cette plus grande à l’ouverture du quarante-cinquieme plan, qui dénote le nombre de ses parties : le compas de proportion restant ainsi ouvert, prenez l’ouverture du vingtieme plan, qui marque le nombre des parties égales de la plus petite ligne ; cette ouverture, qui doit contenir trente des mêmes parties, donnera la moyenne proportionnelle ; car 20 sont à 30 comme 30 sont à 45.
Mais comme le plus grand nombre de la ligne des plans est 64, si quelqu’une des lignes proposées contenoit un plus grand nombre de parties égales, on pourroit faire ladite opération sur leurs moitiés, tiers ou quarts, &c. en cette sorte : supposant, par exemple, que la moindre des lignes proposées soit de 32 & l’autre de 72 ; portez la moitié de la grande ligne à l’ouverture du trente-sixieme plan, & prenez l’ouverture du seizieme ; cette ouverture étant doublée donnera la moyenne proportionnelle que l’on cherche.
Usage de la ligne des solides du compas de proportion. Augmenter ou diminuer des solides semblables quelconques selon une raison donnée.
Soit proposé, par exemple, un cube duquel on en demande un qui soit double en solidité : portez le côté du cube donné sur la ligne des solides à l’ouverture de tel nombre que vous voudrez, comme, par exemple, de 20 à 20 ; prenez ensuite l’ouverture d’un nombre double, comme est en cet exemple le nombre 40 ; cette ouverture est le côté d’un cube double du proposé.
Si l’on propose un globe ou sphere, & qu’on veuille en faire une autre qui soit trois fois plus grosse, portez le diametre de la sphere proposée à l’ouverture de tel nombre qui vous plaira, comme par exemple de 20 à 20, & prenez l’ouverture de 60, ce sera le diametre d’une autre sphere triple en solidité.
Si les lignes sont trop grandes pour être appliquées à l’ouverture du compas de proportion, prenez-en la moitié, le tiers ou le quart, ce qui en proviendra après l’opération sera moitié, tiers ou quart des dimensions que l’on demande.
Etant donnés deux corps semblables, trouver quel rapport ils ont entr’eux. Prenez lequel vous voudrez des côtés de l’un des corps proposés, & l’ayant porté à l’ouverture de quelque solide, prenez le côté homologue de l’autre corps, & voyez à quel nombre des solides il convient ; les nombres auxquels ces deux côtés homologues conviennent, indiquent le rapport des deux corps semblables proposés.
Si le premier ayant été mis à l’ouverture de quelque solide, le côté homologue du second ne peut s’accommoder à l’ouverture d’aucun nombre, portez le côté du premier corps à l’ouverture de quelqu’autre solide, jusqu’à ce que le côté homologue du second corps s’accommode à l’ouverture de quelque nombre des solides.
Usage de la ligne des métaux. Etant donné le diametre d’un globe ou boulet de quelqu’un des six métaux, trouver le diametre d’un autre globe de même poids, & duquel on voudra desdits métaux.
Prenez le diametre donné & le portez à l’ouverture des deux points marqués du caractere qui dénote le métal du boulet, & le compas de proportion demeurant ainsi ouvert, prenez l’ouverture des points cotés du caractere qui signifie le métal dont on veut faire le boulet ; cette ouverture sera son diametre.
Si au lieu de globes on propose des corps semblables ayant plusieurs faces, faites la même opération que ci-dessus pour trouver chacun des côtés homologues, les uns après les autres, afin d’avoir les longueurs, largeurs, & épaisseurs des corps qu’on veut construire.
Usage des lignes des sinus, des tangentes, des sécantes, lorsqu’il y en a de tracées sur le compas de proportion. Par plusieurs lignes qui sont placées sur cet instrument, nous avons des échelles pour différens rayons ; ensorte qu’ayant une longueur ou un rayon donné, qui n’excede pas la plus grande étendue de l’ouverture de l’instrument, on en trouve les cordes, les sinus, &c. Par exemple, supposons que l’on demande la corde, le sinus, ou la tangente de dix degrés pour un rayon de trois pouces ; donnez trois pouces à l’ouverture de l’instrument entre 60 & 60 sur les lignes des cordes des deux jambes, alors la même longueur s’étendra de 45 à 45 sur la ligne des tangentes, & de 90 à 90 sur la ligne des sinus de l’autre côté de l’instrument ; ensorte que la ligne des cordes étant mise à un rayon quelconque, toutes les autres se trouvent mises au même rayon. C’est pourquoi si dans cette disposition on prend avec le compas ordinaire l’ouverture entre 10 & 10 sur les lignes des cordes, cela donnera la corde de dix degrés ; en prenant de la même maniere l’ouverture de 10 en 10 sur les lignes des sinus, on aura le sinus de dix degrés ; enfin si l’on prend encore de la même maniere l’ouverture de 10 en 10 sur les lignes des tangentes, cette distance donnera la tangente de dix degrés.
Si l’on veut la corde ou la tangente de 70 degrés, pour la corde on peut prendre l’ouverture de la moitié de cet arc, c’est-à-dire 35 ; cette distance prise deux fois donne la corde de 70d. Pour trouver la tangente de 70d pour le même rayon, on doit faire usage de la petite ligne des tangentes, l’autre s’étendant seulement jusqu’à 45d : c’est pourquoi donnant trois pouces à l’ouverture entre 45 & 45 sur cette petite ligne, la distance entre 70 & 70 degrés sur la même ligne, sera la tangente de 70 degrés pour un rayon de trois pouces.
Pour trouver la sécante d’un arc, faites que le rayon donné soit l’ouverture de l’instrument entre 0 & 0 sur la ligne des sécantes ; alors l’ouverture de 10 en 10, ou de 70 en 70 sur lesdites lignes, donnera la tangente de 10 ou de 70 degrés.
Si l’on demande la converse de que qu’un des cas précédens, c’est-à-dire si l’on demande le rayon dont une ligne donnée est le sinus, la tangente ou la sécante, il n’y a qu’à faire que la ligne donnée, si c’est une corde, soit l’ouverture de la ligne des cordes entre 10 & 10, alors l’instrument sera ouvert au rayon requis ; c’est-à-dire que le rayon demandé est l’ouverture entre 60 & 60 sur ladite ligne. Si la ligne donnée est un sinus, une tangente, ou une sécante, il n’y a qu’à faire qu’elle soit l’ouverture du nombre donné de degrés ; alors la distance de 90 à 90 sur les sinus, de 45 à 45 sur les tangentes, de 0 à 0 sur les sécantes, donnera le rayon.
Usage du compas de proportion en Trigonométrie. 1°. La base & la perpendiculaire d’un triangle rectangle étant donnée, trouver l’hypothénuse. Supposons la base AC (Pl. Trigonom. fig. 2.) = 40 milles, & la perpendiculaire AB = 30 ; ouvrez l’instrument jusqu’à ce que les deux lignes des lignes, c’est-à-dire les deux lignes des parties égales, fassent un angle droit ; puis pour la base prenez 40 parties de la ligne des parties égales sur une jambe, & pour la perpendiculaire 30 parties de la même ligne sur l’autre jambe ; alors la distance du nombre 40 sur l’une des jambes, au nombre 30 sur l’autre jambe, étant prise avec le compas ordinaire, sera la longueur de
