pour cela il ne faudra que trouver les tangentes des moitiés des angles de 15 degrés, de 30, de 45, &c. dans le grand cercle ZENQ, & les porter depuis Y, jusqu’aux points 15, 30, 45, &c. ou bien, ce qui abrégera encore l’opération, on divisera le grand demi cercle ENQ en 180 degrés, en commençant au point N, 90 de chaque côté ; ensuite par le point Z, & par les points de 15, de 30, de 45 degrés, &c. on tirera des lignes droites qui couperont la ligne Y2, aux points 15, 30, 45, &c. Ces points étant trouvés, il ne s’agira plus que de décrire par ces points, & par les points Z & N, des arcs de cercle Z15N, Z30N, Z45N, &c. qui représenteront les méridiens ; ce qu’on exécutera facilement par les méthodes connues de géométrie, pour tracer un cercle par trois points donnés. Si on ne veut pas se servir de ces méthodes pour décrire ces cercles, on pourra en employer d’autres qui seront encore plus simples : par exemple, pour tracer le méridien Z15N, on tirera du point Z au point 15, une ligne droite, & sur cette ligne droite, on élevera au point Z une perpendiculaire qui ira couper la ligne YE, prolongée en quelque point ; la distance entre ce point de rencontre & le point 15, sera le diametre du cercle Z15N, dont on trouvera par conséquent le centre, en divisant cette distance en deux parties égales. On peut aussi avoir les centres d’une autre maniere : par exemple, pour avoir le centre du cercle Z45N, on tirera par le point Y & par le point de 45 degrés du quart de cercle NQ, une ligne droite ou diametre, qu’on prolongera jusqu’au quart de cercle ZE ; ensuite par le point Z, & par les points d’intersections de ce diametre, avec les deux quarts de cercle NQ, ZE, on tirera deux lignes droites qui iront couper la ligne QYE, prolongée, s’il est nécessaire, en deux points, & la distance de ces points donnera le diametre ; de-là, il est facile de conclure, par les principes de la Géométrie, que le diametre du cercle Z45N, est égal à la moitié de la somme de la tangente de la moitié de 45 degrés, & de la tangente du complément de cette moitié au quart de cercle ; que la distance du point Y au centre du cercle Z45N, est égale à la tangente du complément de 45 degrés, c’est-à-dire à la cotangente de 45 degres, & que la distance du point 45 à ce même centre, est égale à la sécante du complément de 45 degrés, c’est-à-dire à la cosécante de 45 degrés, & ainsi des autres ; ce qui fournit encore de nouvelles méthodes pour déterminer les centres des projections des différens méridiens ; car pour déterminer par exemple le méridien Z45N, il n’y a qu’à prendre depuis le point 45, vers E, une ligne égale à la cosécante de 45 degrés, ou à la demi somme des tangentes de la moitié de 45 degrés, & du complément de cette moitié ; ou bien on prendra depuis le point Y vers E, une ligne égale à la cotangente de 45 degrés.
Dans cette même projection les arcs de cercle ♋, ♋, & rs, rs, sont les tropiques septentrional & méridional, qui se projetteront aussi par des arcs de cercle. Pour tracer ces cercles, par exemple ♋, ♋, on prendra d’abord sur le demi-cercle F22, les arcs E ♋, Q ♋ de 23 degrés & demi, ensuite par le point E, & par le point ♋ qui en est le plus éloigné, on tirera une ligne droite qui coupera la ligne ZN en un point, & par ce point, & les deux points ♋, on décrira un arc de cercle qui représentera le tropique du cancer. On peut aussi s’y prendre de la maniere suivante pour décrire le tropique ♋ o ♋ ; on portera de y vers o une ligne yo, égale à la tangente de la moitié de 23 degrés 30’, & du point o vers le point Z, on portera une ligne égale à la cosécante de 23° 30’, en prenant pour sinus total le rayon du tropique. On pourra décrire par une méthode semblable tous les autres cercles paralelles à l’équateur.
Dans cette projection ♋, rs est l’écliptique, elle est représentée par une ligne droite & on la divisera en degrés, comme on a divisé la projection E2 de l’équateur ; on nommera ces degrés par les signes du zodiaque, en comptant 30°. pour chaque signe.
Projection stéréographique sur le plan de l’équinoctial ou équateur : soit SC (fig. 23.) le méridien & le colure des solstices ; EN le colure équinoctial, & le cercle horaire de 6 heures ; P le pole septentrional ; ♋, ♋, le tropique septentrional ; E ♋ N la moitié septentrionale de l’écliptique. Pour en trouver le centre, on divisera d’abord la ligne PC en 90 degrés, comme on a divisé dans la fig. 22. la ligne YQ ; on prendra ensuite la portion P ♋, de 66 degrés & demi, & on portera depuis ♋ vers S, une ligne égale à la sécante de 23 degrés & demi, ensuite d’un rayon égal à cette sécante, on décrira un cercle qui passe par le point ♋ ; ou bien on portera depuis le point P, vers S, une ligne égale à la tangente de 23 degrés & demi, & de l’extrémité de cette ligne, comme centre, on décrira un arc de cercle qui passe par les points N, E. Le pole a de l’écliptique est à l’intersection du cercle polaire & du méridien, parce que c’est le lieu par où doivent passer tous les cercles de longitude ; & EZN sera l’horison du lieu, par exemple de Paris. Pour la décrire, prenez depuis P jusqu’à Z la tangente de la demi-latitude ; alors la tangente de la colatitude, prise depuis P jusqu’à O, ou sa sécante depuis Z jusqu’à O, donne le centre du cercle qui doit représenter l’horison, & son pole qui représente le zénith, sera éloigné du pole P d’une quantité égale à la tangente de la demi colatitude.
Tracer tous les autres cercles dans cette projection : 1°. pour les cercles de longitude qui doivent tous passer par a, & par les différens degrés de l’écliptique ; prenez la tangente de 66 degrés 30 minutes, depuis a vers x sur le méridien, ce qui donnera un point par lequel une perpendiculaire étant tirée au méridien, elle contiendra les centres de tous les cercles de longitude, & les distances de ces centres au rayon PC, seront les tangentes des degrés de leurs distances au méridien SPC. 2°. On décrit tous les paralelles de déclinaison, en prenant les tangentes de leurs demi distances au pole P, & décrivant du point P & de ces demi distances, comme rayons, des cercles concentriques. 3°. Tous les cercles azimuthaux ou verticaux doivent passer par le zénith h : puis donc que le zénith de Paris est éloigné de P de 41°. 30′. prenez-en la cosécante, (ou la sécante de 48 degrés 50 minutes) depuis h vers C, & cela donnera le point X, qui est le centre de l’azimuth oriental & occidental, c’est-à-dire EhN. 4°. Les cercles de hauteur, ou almicantarats, sont des cercles plus petits, dont les poles ne sont point dans le plan de la projection ; ainsi le cercle Oc est un cercle de hauteur, élevé de 50 degrés au-dessus de l’horison. 5°. Tous les cercles horaires sont des lignes droites, tirées du centre P à l’extrémité du grand cercle SNXE.
Projection stéréographique sur le plan de l’horison. D’abord décrivez un cercle qui représente l’horison ; partagez-le en quatre parties par deux diametres : Z (fig. 24.) sera le zénith du lieu ; 12 z 12 sera le méridien ; 6 z 6 sera le premier vertical ou azimuth d’orient & d’occident ; faites ZP egal à la tangente de la moitié de 41°. 10 ; P sera le pole du monde : faites z Æ = à la tangente de la moitié de 48°. 30′. & vous aurez le cercle équinoctial 6 æ 6.
Dans cette projection, les almicantarats sont tous paralleles au cercle de projection, & les azimutaux sont tous des lignes droites qui passent par Z, centre du cercle de projection. Les paralleles de déclinaison sont tous de petits cercles paralleles au cercle équinoctial ; & on trouve leurs intersections avec le méridien, en prenant la tangente de leurs demi-distan-
