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tres & l’ordre qu’ils gardent entr’eux dans la proportion.

Proportion géométrique. Soient les deux rapports géométriques $\scriptstyle {\overline {a~.~b}}$ & $\scriptstyle {\overline {c~.~d}}$, leurs exposans sont $\scriptstyle {\frac {b}{a}}$ & $\scriptstyle {\frac {d}{c}}$ : or si $\scriptstyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}$, les quatre termes qui les expriment peuvent être disposés en proportion. Pour cela il suffit d’écrire les deux rapports à la suite l’un de l’autre, les séparant par quatre points (∷), $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$ ; ce qui s’énonce ainsi : a est à b comme c est à d, & signifie ici que dans l’un & dans l’autre rapport, chaque conséquent contient son antécédent, ou y est contenu précisément de la même maniere.

Si $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$, on a (par la définition) $\scriptstyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}$ ; multipliant par $\scriptstyle ac$ chaque membre de cette égalité, elle se change en $\scriptstyle bc=ad$ ; ensorte que le premier membre contient le produit des deux moyens, & le second celui des deux extrèmes ; c’est-à-dire qu’en toute proportion géométrique, le produit des extrèmes est égal à celui des moyens. Ce qu’on pourroit encore démontrer de cette autre maniere.

Soit $\scriptstyle {\frac {b}{a}}=m$, on aura aussi $\scriptstyle {\frac {d}{c}}=m$ ; d’où l’on tire $\scriptstyle b=am$, & $\scriptstyle d=cm$ : & substituant ces valeurs de b & de d dans la proportion, $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$ ; elle se change en celle-ci, $\scriptstyle a~.~am~::~c~.~cm$, où il est évident que le produit des extrèmes est non-seulement égal, mais identique à celui des moyens.

Dans la proportion continue $\scriptstyle b=c$, d’où $\scriptstyle bc=cc=ad$ ; c’est-à-dire qu’alors le produit des extrèmes est égal au quarré du terme moyen.

Réciproquement si l’on a $\scriptstyle bc=ad$, divisant chaque membre par $\scriptstyle overline{ac}$, vient $\scriptstyle {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}$, & par conséquent $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$ ; c’est-à-dire que toute égalité (dont chaque membre est un produit de deux dimensions), peut se résoudre en une proportion, dont le produit des moyens est représenté par l’un des membres de l’égalité, & celui des extrèmes par l’autre. Et comme il est toujours aisé de réduire chaque membre de toute égalité à être un produit de deux dimensions (sans altérer sa valeur), la proposition devient générale.

Il suit qu’ayant une proportion, de quelque maniere qu’on juge à propos d’en déplace les termes, pourvû qu’après le déplacement les termes de même nom le conservent ou en changent tous deux, il y aura encore proportion, puisque l’égalité entre le produit des extrèmes & celui des moyens n’en sera point troublée. Mais la proportion ne sera pas toujours la même, c’est-à-dire que les rapports pourront changer, quoiqu’ils restent toujours égaux entr’eux.

La proportion fondamentale étant $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$, il y a sept manieres d’en déplacer les termes, sous la condition prescrite ; mais de ces sept manieres, il n’y en a que deux qui aient mérité l’attention des anciens géometres, & auxquelles il leur ait plû de donner des noms particuliers.

Ils nomment alternando ou permutando celle-ci, $\scriptstyle a~.~c~::~b~.~d$, où l’on ne fait que transposer entr’eux les deux moyens.

Ils nomment invertendo cette autre, $\scriptstyle b~.~a~::~d~.~c$, où l’on ne fait que renverser chacun des deux rapports primitifs, mettant le conséquent à la place de l’antécédent, & réciproquement.

De la même proportion originaire, $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$, en combinant diversement entr’eux par addition ou par soustraction, les antécédens & les conséquens, on en conclut encore plusieurs autres, & la légitimité de la conclusion se prouve en faisant voir (ce qui est très-facile) que la somme des extrèmes y est égale à celle des moyens.

1°. (En prenant pour l’antécédent de chaque rai-

son la somme ou la différence des deux termes qui la

composent), $\scriptstyle a\pm b.b~::~c\pm d.d$… c’est ce que les Géometres nomment componendo si c’est le signe + qu’on emploie, & dividendo si c’est le signe −.

2°. (En prenant au contraire pour conséquent de chaque raison la somme ou la différence des deux termes qui la composent), $\scriptstyle a.a\pm b~::~c.c\pm d$… c’est ce qu’on appelle convertendo.

3°. (En substituant à l’antécédent de la premiere raison la somme ou la différence des antécédens, & au conséquent la somme ou la différence des conséquens ; & prenant pour la seconde raison l’une ou l’autre des deux primitives) $\scriptstyle a~\pm ~c~.~b~\pm ~d~{\text{::}}~{\begin{smallmatrix}a~.~b\\c~.~d\end{smallmatrix}}$. Il résulte de ce dernier mode, que la somme des antécédens est à celle des consequens, comme celui qu’on voudra des antécédens est à son conséquent particulier. (Proposition qui a son usage).

Puisque (suprà) $\scriptstyle bc=ad$, $\scriptstyle d={\frac {bc}{a}}$. Ayant donc les trois premiers termes ($\scriptstyle a~.~b~::~c$) d’une proportion, on en trouvera toujours le quatrieme d, en divisant le produit des moyens par le premier. C’est le fondement de cette regle si connue & d’un si grand usage, qu’on nomme regle de trois. Voyez son article. On voit au reste qu’il ne seroit pas plus difficile de trouver tel autre terme qu’on voudroit de la proportion, dès qu’on connoîtroit les trois autres, & l’ordre qu’ils y gardent entr’eux.

Deux proportions, $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$, & $\scriptstyle e~.~f~::~g~.~h$, étant données, si l’on multiplie par ordre les termes de l’une par ceux de l’autre, les produits seront encore en proportion, & l’on aura $\scriptstyle ae~.~fb~::~cg~.~dh$… On l’aura prouvé, si l’on fait voir que $\scriptstyle aedh=bfcg$, ou ce qui est la même chose, que $\scriptstyle ad\times eh=bc\times fg$ : or c’est ce qui est évident ; car 1°. $\scriptstyle ad=bc$, puisque $\scriptstyle a~.~b~::~c~.~d$ ; 2°. $\scriptstyle eh=fg$, puisque $\scriptstyle e~.~f~::~g~.~h$. Mais les facteurs d’une part étant égaux aux facteurs de l’autre, les produits eux-mêmes ne peuvent manquer de l’être.

Ce qu’on vient de dire de deux proportions doit s’entendre de 3, de 4, &c… Si, au lieu de les multiplier, on les divise l’une par l’autre, les quotiens seront pareillement en proportion ; & on le démontrera par la même méthode & avec la même facilité.

Il suit que des racines proportionnelles donnent des puissances qui le sont aussi, & réciproquement ; car les puissances ne sont que des produits, comme les racines ne sont que des quotiens, d’une espece particuliere à la vérité, mais dont la singularité ne les soustrait pas à la loi générale qu’on vient d’établir. (Article de M. Rallier des Ourmes)

Proportion harmonique ou musicale, est une troisieme espece de proportion qui se forme des deux précédentes en cette sorte : si trois nombres sont tels, que le premier soit au troisieme, comme la différence du premier & du second est à la différence du second & du troisieme, ces trois nombres sont en proportion harmonique.

Ainsi les nombres 2, 3, 6, sont en proportion harmonique, parce que $\scriptstyle 2~:~6~::~1~:~3$ ; de même aussi quatre nombres sont en proportion harmonique quand le premier est au quatrieme, comme la différence du premier & du second est à la différence du troisieme & du quatrieme.

Ainsi 24, 16, 12, 9, sont en proportion harmonique, parce que $\scriptstyle 24~:~9~::~8~:~3$.

Si on continue la proportion dans le premier de ces deux cas, on formera une progression ou serie harmonique. Voyez Serie ou Suite.

1. Si trois ou quatre nombres en proportion harmonique, sont multipliés ou divisés par le même nom-