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que dans le second il est affecté d’une fraction.

Pour avoir le rang du terme de la progression différentielle où sa somme est 0 (& par une suite où les sommes des deux progressions comparées sont égales), il est clair qu’il n’y a qu’à prendre à la droite de 0 autant de termes positifs qu’il en a de négatifs à sa gauche, c’est-à-dire doubler $\scriptstyle {\frac {P}{M}}$, & ajoûter 1. Cette unité qu’on ajoute représente le terme 0 lui-même, quand il est exprimé. S’il est sous-entendu, il est à observer que le reste que laisse la division de P par M à la gauche de 0, & son complément à l’unité vers la droite, sont chacun en particulier pris pour un terme dans la progression. On compte donc deux termes pour une seule unité du quotient. Pour que celui-ci puisse représenter le nombre des termes, il faut donc l’augmenter de l’unité. On a donc dans tous les cas $\scriptstyle \left(n={\frac {2P}{M}}+1\right)$.

Ce seroit ici le lieu de donner des exemples : mais tous les livres élémentaires de mathématiques en sont pleins. Nous nous bornerons donc à un petit nombre, choisis entre ceux où l’application des formules de la table paroît souffrir quelque difficulté.

Exemple I. Entre deux nombres donnés p & d, trouver un nombre quelconque r de moyens proportionnels arithmétiques.

Considérant p & d comme les extrêmes d’une progression, dont le nombre des termes sera conséquemment (r + 2), c’est-à-dire le nombre même des moyens à trouver + les deux extrêmes donnés. La question se rapporte au second article de la table, où l’on trouve $\scriptstyle m={\frac {d-p}{n-1}}$. Mais $\scriptstyle n=r+2$ ; donc $\scriptstyle n-1=r+1$ ; donc $\scriptstyle m={\frac {d-p}{r+1}}$. Or la différence trouvée, le reste suit.

Si c’est entre 1 & 13 qu’on demande trois moyens proportionnels… $\scriptstyle ={\frac {d-p}{r+1}}={\frac {13-1}{3+1}}={\frac {12}{4}}=3$ : & la progression est 1. 4. 7. 10. 13.

Exemple II. Deux voyageurs partent au même instant de deux termes opposés distans entr’eux de 135 lieues, & viennent à la rencontre l’un de l’autre, la marche du premier étant réglée par jour sur les termes correspondans de cette progression arithmétique (1. 5. 9. &c.), & celle du second sur les termes de cette autre (4. 7. 10. &c.) : on demande quel jour ils se rencontreront, & ce que chacun aura fait de chemin.

Les deux progressions concourant au même but, qui est de rapprocher les deux voyageurs, on voit que c’est par addition qu’il faut ici procéder. La somme des deux progressions est cette nouvelle (5. 12. 19. &c.) ; où l’on connoît p = 5, m = 7, s = 135 : ce qui ramene la chose au cinquieme article de la table. Le calcul donne, après les réductions n = 6… pour satisfaire à la seconde partie de la question, il n’y a plus qu’à faire (par l’article 4) les sommes particulieres des deux premieres progressions, où l’on connoît p, m, n :

on trouvera	d’une part,	66	$\left.{\begin{matrix}\ \\\end{matrix}}\right\}$ 135
	de l’autre,	69

Exemple III. Les autres circonstances restant les mêmes, si l’on supposoit que les voyageurs partent du même terme pour aller vers le même côté ; il est clair que le second prendra d’abord de l’avance, mais que le premier l’atteindra plûtôt ou plus tard : on demande le jour précis que cela arrivera.

La marche de l’un des voyageurs tend à procurer leur réunion, tandis que celle de l’autre tend à la retarder ; leur effet étant contraire, c’est donc la soustraction qu’il faut employer. Otant la seconde progression de la premiere, la différentielle est (−3. −2. −1. &c.) D’ailleurs quand le premier voyageur atteindra le second, ils auront fait l’un & l’autre le même chemin, les sommes de leurs progressions res-

pectives seront donc égales, & par une suite celle de la différentielle sera 0 ; c’est-à-dire qu’on connoît dans celle-ci P = −3, M = 1, s = 0) ; ce qui ramene encore la question au cinquieme article de la table. Ou bien on se servira de la formule particuliere

$\scriptstyle \left(n={\frac {2P}{M}}+1\right)$. De l’une & de l’autre maniere, on trouvera également n = 7 ; c’est-à-dire que le premier voyageur atteindra le second à la fin du septieme jour, l’un & l’autre ayant fait 91 lieues.

Au lieu de comparer deux progressions, on peut comparer une progression avec une suite de termes non croissans & tous égaux entre eux (a. a. a. &c.) : mais en considérant celle-ci (malgré la contradiction que renferme cette idée) comme une progression dont la différence seroit 0, cette circonstance ne changera rien à la méthode qu’on vient d’employer pour résoudre la derniere question, ainsi qu’on va le voir.

Exemple IV. Des esclaves se sauvent dans une barque qui n’est équipée que de rames, & font chaque jour 12 lieues, en ayant 50 à faire pour se rendre au port ami le plus prochain. Un vaisseau les poursuit, dont la route contrariée d’abord par divers obstacles, puis secondée d’un vent qui devient de plus en plus favorable, est reglée par jour sur les termes correspondans d’une progression arithmétique dont le premier terme est 6 & la différence 5… Les esclaves seront-ils repris ? quel jour le seront-ils ? & à quelle distance du port ?

Appliquant, si l’on veut, la formule particuliere $\scriptstyle \left(n={\frac {2P}{M}}+1\right)$ ; comme on a ici $\scriptstyle P=12-6=6$, & $\scriptstyle M=5-0=5$ : on trouve $\scriptstyle n={\frac {12}{5}}+1=3+{\frac {2}{5}}$… Les esclaves seront donc repris ; ils le seront aux $\scriptstyle {\frac {2}{5}}$ du quatrieme jour, à $\scriptstyle 9{\frac {1}{5}}$ lieues du port qu’ils cherchent, n’ayant fait encore que $\scriptstyle 40{\frac {4}{5}}$ lieues. Car leur route est $\scriptstyle 12\times {\overline {3+{\frac {2}{5}}}}=12\times {\frac {17}{5}}={\frac {204}{5}}=40+{\frac {4}{5}}$ ; & c’est aussi la somme de la progression. Voyez le mémoire inséré à la fin de cet article.

Progression géométrique. On la désigne par ce caractere (∺) qu’on met en tête de la suite, dont les termes sont distingués entre eux par de simples points… ∺ 1. 2. 4. 8. &c. est une progression géométrique ; où l’on peut observer que 2 est moyen géométrique entre 1 & 4, 4 entre 2 & 8, &c. & que de deux termes consécutifs le second n’est que le premier multiplié par l’exposant (2) de la progression. L’analogie est si marquée & si soutenue entre les deux progressions, que ce qui a été dit de l’arithmétique, pourroit en quelque sorte suffire pour faire connoître la géométrique ; en observant qu’où celle-là procede par addition & par multiplication, celle-ci procede respectivement par multiplication & par exaltation. Au-moins pour ne pas laisser perdre de vûe cette étroite affinité qui peut jetter un grand jour sur l’une & sur l’autre, on affectera de suivre ici le même ordre & d’employer même, autant qu’il se pourra, les mêmes expressions qu’on a fait plus haut pour l’Arithmétique.

Nommant p le premier terme, & m l’exposant ; toute progression géométrique peut être représentée par celle-ci… ∺ p. p m. p m². pm³. &c.

Chaque terme n’étant que celui qui le précede multiplié par l’exposant de la progression ou par m ; le second est le premier × par la premiere puissance de m ; le troisieme, le premier × par la seconde puissance de m, & ainsi de suite : ensorte que chaque terme n’est que le premier × par la puissance de m, dont l’exposant est moindre d’une unité que le rang qu’il occupe dans la suite, ou, ce qui est la même chose, égal à la différence de son quantieme à celui du premier terme. Ce qui donne le moyen de trouver directement tel terme d qu’on voudra, pourvu qu’on sache quel quantieme il est, & qu’on connoisse d’ail-