jusqu’ici échappé aux observateurs. Ce sont, pour le nombre & pour le fonds, précisément les mêmes que celles de neuf, si ce n’est qu’elles se manifestent en sens contraire, comme cela devoit être. Dans le développement qu’on en va faire, on aura soin de rapprocher chacune de celle qui lui correspond pour le nombre neuf, afin de faire mieux connoître ce qu’elles ont de commun & en quoi elles différent.
Au reste, tout ce que nous dirons de onze doit s’entendre de tout autre , c’est-à-dire (r représentant la racine d’une échelle arithmétique quelconque), de tout nombre qui occupe respectivement le même rang dans son échelle particuliere, que notre 11 occupe dans la sienne. Je dis notre 11, parce que 11 est l’expression numérique de commune à toutes les échelles.
3 Premiere propriété. La division par 11 de tout multiple de 11 peut se réduire à une simple soustraction : en voici la pratique.
Soit 4708 (multiple de II) proposé à diviser par 11.
| Ecrivez 0 au-dessous du chiffre qui exprime les unités, & dites : qui de 8 paie 0, reste 8, écrivez 8 à la gauche du 0 que vous avez posé. | 4 7 0 8 | |
| 4 2 8 0 |
Puis dites : qui de 0, ou (en empruntant) qui de 10 paie 8, reste 2 ; écrivez 2 à la gauche du 8.
Enfin dites : non, qui de 7, mais (à cause de l’emprant) qui de 6 paie 2, reste 4 ; écrivez 4 à la gauche du 2...& tout est fait : car 4 − 4 = 0 montre que l’opération est consommée. De sorte que négligeant le 0 final, le reste 428 est le quotient cherché.
Pour la preuve ; additionnez ensemble les chiffres du nombre inférieur, les prenant deux à deux, chacun successivement avec celui qui le précéde vers la gauche, jusqu’au dernier qui s’emploie tout seul, n’en ayant point au-delà avec qui s’apparier : la somme doit vous rendre le nombre supérieur, s’il ne s’est point glissé d’erreur dans l’opération.
4. La raison de cette pratique deviendra sensible, si l’on fait attention que tout multiple de 11 peut être conçu, comme le résultat d’une addition. En effet, . Ce que l’on peut disposer ainsi
| 4280 | s. | |
| + | 428 | m. |
| 4708 | j. |
Nommant s le nombre supérieur, m celui du milieu, j l’inférieur ; il suit de la disposition des chiffres que le dernier de m est le même que le pénultieme de s, le pénultieme de m le même que l’antépénultieme de s, &c.
Maintenant le nombre j étant proposé à diviser par 11, il est clair (construction) que le quotient cherché est le nombre m. Mais (encore par construction) j = s + m ; d’où m = j − s : & voilà la soustraction qu’il est question de faire ; mais comment y procéder, puisque s, élément nécessaire, n’est point connu ?
Au moins en connoît-on le dernier chiffre, qui est toujours 0 : on peut donc commencer la soustraction. Cette premiere opération donnera le dernier chiffre m, = (suprà) au pénultieme de s ; celui-ci fera trouver le pénultieme de m, = à l’antépénultieme de s ; & ainsi de l’un en l’autre, le chiffre dernier trouvé de m étant celui dont on a besoin dans s pour continuer l’opération.
L’addition qui sert ici de preuve à la regle est, si l’on veut y faire attention, précisément la même qui a formé le multiple : il n’est donc pas étonnant
qu’elle le rende. C’est au fonds s qu’on ajoute à m : or s + m = j. Il est vrai que s & m sont mêlés ensemble & fondus dans le même nombre ; mais l’opération même les démêle.
5. La division par 11 de tout multiple de 11, aussi bien que la division par 9 de tout multiple de 9, peut donc se reduire à une simple soustraction : mais elle se fait pour l’un & pour l’autre en sens contraires. Elle est pour
Là le premier 0 (qui est comme la clé de l’opération) se place au-dessus du multiple : ici il se place au-dessous.
6. Avant que d’énoncer la seconde propriété, j’avertis que la dénomination de chiffres pairs & de chiffres impairs y est relative au rang que chacun occupe dans une suite d’autres chiffres, sans nul égard à sa valeur propre. Ainsi (supposant qu’on compte de gauche à droite) dans 2176, 2 & 7 sont les chiffres impairs, 1 & 6 les chiffres pairs.
7. Seconde propriété. En tout multiple de 11, si l’on fait séparément la somme des chiffres pairs & celle des impairs, ou ces deux sommes sont égales, ou leur différence est un multiple de 11 ... comme réciproquement tout nombre, tel que la somme des chiffres pairs y soit égale à celle des impairs, ou que leur différence soit un multiple de 11, exprime lui-même un multiple de 11 ; c’est ce qu’on voit d’abord.
| en | .... | où | &c. |
| en | .... | où |
De même si l’on écrit au hasard une suite de chiffres en nombre quelconque, pourvû seulement que la somme des chiffres pairs y soit égale à celle des impairs, ou que leur différence soit un multiple de 11, comme 77, 90904, &c. on est assuré que le nombre résultant se divise exactement par 11.
8. Pour démontrer la proposition directe, il suffit de substituer dans la figure du n°. 4, au lieu des chiffres qui s’y trouvent, les indéterminées a, b, c, qui les représentent d’une maniere générale : on aura
| a. | b. | c. | * | (L’astérisque tient ici la place du 0, qu’on n’a point voulu mêler avec des lettres, crainte d’équivoque. | |
| + | ... | a. | b. | c. | |
| a. | a.+b. | b.+c. | c. | ||
On voit que la somme des termes pairs est exactement la même que celle des impairs ; & que ce sera la même chose, en quelque nombre qu’on veuille supposer les lettres de la quantité à multiplier : c’est une suite nécessaire de la formation du multiple.
Un seul point pourroit causer quelque scrupule ; les deux termes extrèmes, sont simples, ou ne contiennent qu’une seule lettre. Cette circonstance, il est vrai, ne peut tirer à conséquence, quand l’un des deux appartient à la somme des pairs, & l’autre à celle des impairs, comme dans l’exemple présent ; on voit bien qu’il en doit résulter le même nombre de lettres de part & d’autre. Mais quand tous les deux se trouvent du même côté (comme il arrive toutes les fois que les termes du multiple sont en nombre impair), il semble que ce côté doit pécher par défaut .... au contraire, c’est précisément ce qui conserve l’égalité. Car, les termes du multiple étant en nombre impair, il y a nécessairement un côté qui a un terme de plus que l’autre, & comme c’est toujours le côté des impairs (auquel d’ailleurs appartiennent les deux extrèmes), il se trouve que deux termes simples figurent vis-à-vis d’un double ; c’est ce qu’on voit en cet autre exemple :
| a. | b. | * | |
| + | ... | a. | b. |
| a. | a.+b. | b. | |
9. Il paroît résulter de cette démonstration, que
