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maniere qu’on soit remboursé entierement au bout de tel nombre d’années qu’on voudra jusqu’à cent ans ; c’est-à-dire, la valeur des annuités qui rapporteroient 100 livres, pendant un certain nombre d’années. Voici une partie de cette table, qui peut être très-commode dans le calcul des annuités.

Table des sommes qu’on doit prêter pour recevoir 100 l. à la fin de chaque année, de maniere qu’on soit remboursé entierement au bout de tel nombre d’années qu’on voudra jusqu’à 100 ans.


Les Intérêts comptés
sur le pié du denier 20.

ANS.	Livres.	Sous.	Den.	ANS.	Livres.	Sous.	Den.

1	95	4	9	51	1833	17	3
2	185	18	10	52	1841	17	3
3	272	6	6	53	1849	6	1
4	354	11	11	54	1856	9	7
5	432	19	0	55	1863	6	3

6	507	11	5	56	1869	16	4
7	578	12	9	57	1876	0	4
8	646	6	5	58	1881	18	4
9	710	15	8	59	1887	10	9
10	772	3	5	60	1892	17	10

11	830	12	9	61	1897	19	9
12	886	6	5	62	1902	16	10
13	939	7	1	63	1907	9	4
14	989	17	2	64	1911	17	5
15	1037	19	3	65	1916	1	4

16	1083	15	4	66	1920	1	3
17	1127	8	0	67	1923	17	4
18	1168	19	0	68	1927	9	9
19	1208	10	6	69	1930	19	8
20	1246	4	3	70	1934	4	6

21	1282	2	1	71	1937	7	1
22	1316	5	10	72	1940	6	9
23	1348	16	11	73	1943	3	6
24	1379	17	0	74	1945	17	7
25	1409	7	8	75	1948	9	11

26	1437	10	1	76	1950	18	1
27	1464	5	9	77	1953	4	10
28	1489	15	11	78	1955	9	4
29	1514	1	10	79	1957	11	8
30	1537	4	6	80	1959	12	0

31	1559	5	3	81	1961	10	5
32	1580	5	0	82	1963	7	0
33	1600	4	8	83	1965	1	11
34	1619	5	5	84	1966	15	1
35	1637	7	11	85	1968	6	9

36	1654	13	3	86	1969	16	10
37	1671	2	1	87	1971	5	6
38	1686	15	4	88	1972	12	10
39	1710	13	7	89	1973	18	10
40	1715	17	7	90	1975	3	7

41	1729	8	2	91	1976	7	2
42	1742	5	10	92	1977	9	8
43	1754	11	3	93	1978	11	1
44	1766	5	0	94	1979	11	5
45	1777	7	6	95	1980	10	10

46	1787	19	6	96	1981	9	4
47	1798	1	4	97	1982	6	11
48	1807	13	8	98	1983	3	8
49	1816	16	10	99	1983	19	8
50	1825	11	2	100	1984	14	10

Si on veut savoir la méthode sur laquelle cette

Table est formée, la voici. Supposons qu’on emprunte une somme que j’appelle a & que, les intérêts étant comptés sur le pié du denier 20, ou en général du denier $\scriptstyle {\frac {1}{m}}$ , on rende chaque année une somme b, & voyons ce qui en arrivera.

En premier lieu, puisque les intérêts sont comptés sur le pié du denier $\scriptstyle {\frac {1}{m}}$ , il s’ensuit que celui qui a emprunté la somme a, devra à la fin de la premiere année cette somme, plus le denier $\scriptstyle {\frac {1}{m}}a$ de cette somme, c’est-à-dire, qu’il devra $\scriptstyle a+{\frac {a}{m}}$ ou $\scriptstyle a\times \left({\frac {m+1}{m}}\right)$ . Or par la supposition, il rend à la fin de la premiere année la somme b ; donc au commencement de la seconde année il n’emprunte plus réellement que la somme $\scriptstyle a\left({\frac {m+1}{m}}\right)-b$

A la fin de la seconde année il devra donc $\scriptstyle \left[a\left({\frac {m+1}{m}}\right)-b\right]\times \left({\frac {m+1}{m}}\right)$ ou $\scriptstyle a\times \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{2}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)$ ; & comme à la fin de cette seconde année il rend encore b, il s’ensuit qu’au commencement de la troisieme année il n’emprunte plus que $\scriptstyle a\times \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{2}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)-b$

A la fin de la troisieme année il devra donc $\scriptstyle a\times \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{3}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{2}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)$ , dont il faut encore retrancher b pour savoir ce qu’il emprunte réellement au commencement de la quatrieme année.

Donc ce qu’il doit réellement à la fin de la n^e. année sera $\scriptstyle a\times \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-1}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-2}....-b$ .

D’où il s’ensuit que si le payement doit se faire en un nombre n d’années, il n’y a qu’à faire la quantité précédente égale à zéro ; puisqu’au bout de ce tems, par la supposition, le débiteur se sera entierement acquité, & qu’ainsi sa dette sera nulle ou zero à la fin de la n^e. année.

Or dans cette derniere quantité tous les termes qui sont multipliés par b, forment une progression géométrique, dont $\scriptstyle \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-1}$ est le premier terme, $\scriptstyle \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-2}$ le second, & 1 le dernier. D’où il s’ensuit (Voyez Progression) que la somme de cette progression est $\scriptstyle \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{2n-2}-\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-2}$ divisé par $\scriptstyle \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-1}-\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n-2}$ , c’est-à-dire $\scriptstyle \left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n}-1$ divisé par $\scriptstyle \left({\frac {m+1}{m}}\right)-1$ .

Ainsi par cette équation générale $\scriptstyle a\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n}-b\times {\frac {\left[\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n}-1\right]}{{\frac {m+1}{m}}-1}}=0$ , ou $\scriptstyle a\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n+1}-a\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n}-b\left({\frac {m+1}{m}}\right)^{n}+b=0$ , on peut trouver,

1°. La somme a qu’il faut prêter pour recevoir la somme b chaque année, pendant un nombre d’années n, les intérêts étant comptés sur le pié du denier $\scriptstyle {\frac {1}{m}}$ ; c’est-à-dire, qu’on trouvera a, en supposant que b, n, $\scriptstyle {\frac {1}{m}}$ , soient données.

2°. On trouvera de même b, en supposant que a, n, 1/m, sont données.

3°. Si a, b, n, sont données, on peut trouver $\scriptstyle {\frac {1}{2m}}$ ; mais le calcul est plus difficile, parce que dans les deux cas précédens l’équation n’étoit que du premier degré, au lieu que dans celui-ci l’équation qu’il