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système $\scriptstyle x,\ y,\ z,\ t$. Considérons, par exemple, le mouvement d’un point. Si, dans le temps $\scriptstyle dt$ les coordonnées $\scriptstyle x,\ y,\ z$ subissent les changements $\scriptstyle dx,\ dy,\ dz$, on a pour les composantes de la vitesse

$\scriptstyle \xi ={\frac {dx}{dt}},\quad \eta ={\frac {dy}{dt}},\quad \zeta ={\frac {dz}{dt}}.$

Or, en vertu des relations (1) les variations $\scriptstyle dx,\ dy,\ dz,\ dt$ entraînent les changements

(2)	$\scriptstyle dx'=kl(dx+\epsilon \ dt),\quad dy'=l\ dy,\quad dz'=l\ dz,\quad dt'=kl(dt+\epsilon \ dx)$

des nouvelles variables. Il est naturel de définir les composantes de la vitesse dans le nouveau système par les formules

(3)	$\scriptstyle \xi '={\frac {dx'}{dt'}},\quad \eta '={\frac {dy'}{dt'}},\quad \zeta '={\frac {dz'}{dt'}},$

ce qui nous donne

(4)	$\scriptstyle \xi '={\frac {\xi +\epsilon }{1+\epsilon \xi }},\quad \eta '={\frac {\eta }{k(1+\epsilon \xi )}},\quad \zeta '={\frac {\zeta }{k(1+\epsilon \xi )}}.$

Pour avoir un autre exemple, on peut imaginer un grand nombre de points mobiles dont les vitesses sont des fonctions continues des coordonnées et du temps. Soit $\scriptstyle d\tau$ un élément de volume situé au point $\scriptstyle x,\ y,\ z$ et fixons l’attention sur les points du système qui se trouvent dans cet élément à un instant déterminé $\scriptstyle t$. Soit $\scriptstyle t'_{0}$, la valeur spéciale de $\scriptstyle t'$ qui correspond à $\scriptstyle x,\ y,\ z,\ t$ en vertu des équations (1), et envisageons pour les différents points les valeurs de $\scriptstyle x',\ y',\ z'$ correspondant à cette valeur déterminée $\scriptstyle t'=t'_{0}$; en d’autres termes, considérons les positions des points dans le nouveau système, prises toutes pour une même valeur du « temps » $\scriptstyle t'$. On peut se demander quelle est l’étendue de l’élément $\scriptstyle d\tau '$ de l’espace $\scriptstyle x',\ y',\ z'$, dans lequel se trouvent à cet instant $\scriptstyle t'_{0}$ les points choisis qui se trouvent en $\scriptstyle d\tau$ au moment $\scriptstyle t$. Un simple calcul, que je puis omettre ici, conduit à la relation

(5)	$\scriptstyle d\tau '={\frac {l^{3}}{k}}{\frac {1}{1+\epsilon \xi }}d\tau .$

Supposons enfin que les points dont il s’agit portent des charges électriques égales et admettons que dans les deux systèmes $\scriptstyle x,\ y,\ z,\ t$ et $\scriptstyle x',\ y',\ z',\ t'$ on attribue les mêmes valeurs numériques à ces charges. Si les points sont suffisamment rapprochés les uns des autres, on obtient une distribution continue d’électricité et il est clair que la charge contenue dans l’élément $\scriptstyle d\tau$