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Enfin, la formule (12) nous fournira la fonction de probabilité $\scriptstyle \omega$ pour une valeur positive quelconque de $\scriptstyle \eta$. Il est vrai que le facteur indéterminé de la fonction $\scriptstyle \Phi (\alpha )$ se retrouvera en $\scriptstyle \omega$, mais un tel facteur n’a aucune importance.

On peut donc dire que la probabilité $\scriptstyle \omega$ est entièrement déterminée dès qu’on connaît la distribution de l’énergie pour toutes les températures. Il n’y a qu’une fonction $\scriptstyle \omega$ pour une distribution qui est donnée en fonction de la température. Par conséquent, les hypothèses que nous avons faites sur $\scriptstyle \omega$ et qui conduisent à la loi de Planck sont les seules qu’on puisse admettre.

Voilà le raisonnement par lequel Poincaré a établi la nécessité de l’hypothèse des quanta.

On voit que la conclusion dépend de l’hypothèse que la formule de Planck est une image exacte de la réalité. Cela pourrait être tiré en doute, la formule ne pourrait être qu’approchée. C’est pour cette raison que Poincaré reprend le problème en abandonnant la loi de Planck et en se servant seulement de la relation que ce physicien a trouvée entre l’énergie d’un résonateur et celle du rayonnement noir. Ce nouvel examen conduit à la conclusion que l’énergie totale du rayonnement sera infinie à moins que l’intégrale $\scriptstyle \int _{0}^{\eta _{0}}\omega \ d\eta$ ne tende pas vers zéro avec $\scriptstyle \eta _{0}$. La fonction $\scriptstyle \omega$ doit donc présenter au moins une discontinuité (pour $\scriptstyle \eta =0$), analogue à celles que donne la théorie des quanta^[1].

1. Ce résultat avait été trouvé par M. P. Ehrenfest; voir Ann. Physik, t. 36, 1911, p. 91.