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et Poincaré les transforme encore par les substitutions

$\scriptstyle x=n\omega ,\quad h=n\beta ,\quad p=nk,$

ce qui lui donne

${\begin{array}{l}\scriptstyle nY={\frac {Cn^{p+1}}{2i\pi }}\int _{0}^{\beta }\int _{(L)}{\frac {\omega }{\beta -\omega }}\Theta ^{n}d\omega \ d\alpha ,\\\\\scriptstyle pX={\frac {Cn^{p+1}}{2i\pi }}\int _{0}^{\beta }\int _{(L)}\Theta ^{n}d\omega \ d\alpha ,\end{array}}$

où il a posé

$\scriptstyle \Theta =\Phi (\alpha )e^{\alpha \omega }(\beta -\omega )^{k}$

Notons que $\scriptstyle \omega$ n’est autre chose que l’énergie moyenne d’un seul résonateur pour le cas où l’on aurait

$\scriptstyle \eta _{1}+\dots +\eta _{n}=x,$

que $\scriptstyle \beta$ est la valeur que prendrait $\scriptstyle \omega$ si toute l’énergie disponible $\scriptstyle h$ se trouvait dans les résonateurs et que $\scriptstyle k$ est le rapport entre le nombre des molécules et celui des résonateurs.

Lorsque, dans les applications du Calcul des probabilités aux théories moléculaires, on cherche l’état d’un système, qui présente le maximum de probabilité, on trouve toujours que, grâce au nombre immense des molécules, ce maximum est tellement prononcé qu’on peut négliger la probabilité de tous les états qui s’écartent sensiblement de l’état le plus probable. Dans le cas qui nous occupe, il y a quelque chose d’analogue.

Admettons avec Poincaré que, pour des valeurs données de $\scriptstyle h$ et de $\scriptstyle \beta$, la fonction $\scriptstyle \Theta$ a un maximum pour $\scriptstyle \alpha =\alpha _{0}$, $\scriptstyle \omega =\omega _{0}$ et faisons passer par le point $\scriptstyle \alpha _{0}$, le lieu du maximum, la ligne $\scriptstyle L$ dont la distance $\scriptstyle \alpha _{0}$ à l’origine pouvait être choisie à volonté. Comme l’exposant $\scriptstyle n$ est un nombre très élevé, le maximum de $\scriptstyle \Theta ^{n}$ est extrêmement prononcé et les seuls éléments des intégrales que nous ayons à prendre en considération, sont ceux qui se trouvent dans le voisinage immédiat de $\scriptstyle \alpha _{0}$ et de $\scriptstyle \omega _{0}$. Cela nous donne immédiatement pour le rapport cherché

$\scriptstyle {\frac {nY}{pX}}={\frac {\omega _{0}}{\beta -\omega _{0}}}$

et, en vertu de l’équation

$\scriptstyle nY+pX=h=n\beta ,$

(13)	$\scriptstyle Y=\omega _{0},$

(14)	$\scriptstyle X={\frac {\beta -\omega _{0}}{k}}.$