de M. Planck. Je ne m’arrêterai pas à ces calculs et je passe immédiatement à la question principale, celle de savoir si les discontinuités que je viens d’indiquer doivent nécessairement être admises.
Je vais reproduire le raisonnement de Poincaré, mais je dirai d’abord que dans les formules que nous rencontrerons,
désigne une variable complexe dont la partie réelle
est toujours positive. Dans la représentation graphique on se bornera à la moitié du plan
caractérisée par
et dans les intégrations par rapport à
on suivra une ligne droite
perpendiculaire à l’axe des
réels, et prolongée indéfiniment des deux côtés. Les valeurs des intégrales seront indépendantes de la longueur de la distance
de cette ligne à l’origine des
.
Poincaré introduit une fonction auxiliaire qu’il définit par l’équation
(11) |
|
et il démontre que la fonction
et la fonction
qui en dérive peuvent être exprimées à l’aide de
.
On a d’abord, par l’inversion de (11)
(12) |
|
Pour obtenir une formule analogue pour
nous remarquerons que dans l’équation (11) on peut remplacer
par une quelconque des variables
. En multipliant les
équations qu’on obtient ainsi on trouve
ou bien, en vertu de la formule (8)
et par inversion
Les formules (9) et (10) deviennent maintenant