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Considérons un système composé de $\scriptstyle n$ résonateurs de Planck et de $\scriptstyle p$ molécules, $\scriptstyle n$ et $\scriptstyle p$ étant de très grands nombres; supposons que tous les résonateurs soient égaux entre eux et qu’il en soit de même des molécules. Désignons par $\scriptstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{p}$ les énergies des molécules et par $\scriptstyle \eta _{1},\dots ,\eta _{n}$ celles des résonateurs; chacune de ces variables pourra prendre toutes les valeurs positives.

Poincaré démontre d’abord que la probabilité pour que les quantités d’énergie soient comprises entre les limites $\scriptstyle \xi _{1}$ et $\scriptstyle \xi _{1}+d\xi _{1},\dots ,\xi _{p}$ et $\scriptstyle \xi _{p}+d\xi _{p}$, $\scriptstyle \eta _{1}$ et $\scriptstyle \eta _{1}+d\eta _{1},\dots ,\eta _{n}$, $\scriptstyle \eta _{n}$ et $\scriptstyle \eta _{n}+d\eta _{n}$ peut être représentée par

$\scriptstyle \omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)d\eta _{1}\dots d\eta _{n}d\xi _{1}\dots d\xi _{p}$

où $\scriptstyle \omega$ est une fonction sur laquelle on peut faire différentes hypothèses.

Dès qu’on connaît cette fonction on pourra dire de quelle manière une quantité d’énergie $\scriptstyle h$ se répartira sur les molécules et les résonateurs. À cet effet, on peut se représenter dans l’espace à $\scriptstyle p+n$ dimensions $\scriptstyle \xi _{1},\dots ,\xi _{\rho },\eta _{1},\dots ,\eta _{n}$, la couche infiniment mince S, dans laquelle l’énergie totale

$\scriptstyle \xi _{1}+\dots +\xi _{p}+\eta _{1}+\dots +\eta _{n}$

est comprise entre $\scriptstyle h$ et une valeur infiniment voisine $\scriptstyle h+dh$. On calculera les trois intégrales

${\begin{array}{l}\scriptstyle \,\,I=\int \omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)d\eta _{1}\dots d\eta _{n}d\xi _{1}\dots d\xi _{p},\\\scriptstyle \,I'=\int x\omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)d\eta _{1}\dots d\eta _{n}d\xi _{1}\dots d\xi _{p},\\\scriptstyle I''=\int (h-x)\omega \left(\eta _{1}\right)\dots \omega \left(\eta _{n}\right)d\eta _{1}\dots d\eta _{n}d\xi _{1}\dots d\xi _{p},\end{array}}$ $\scriptstyle \left(x=\eta _{1}+\dots +\eta _{n}\right)$

étendues à la couche $\scriptstyle S$, et on aura ${\tfrac {I'}{I}}$ pour l’énergie que prennent les résonateurs et ${\tfrac {I''}{I}}$ pour celle de l’ensemble des molécules. Par conséquent, si $\scriptstyle Y$ est l’énergie moyenne d’un résonateur, et $\scriptstyle X$ celle d’une molécule,

$\scriptstyle nYI=I',\quad pXI=I''.$

Pour calculer l’intégrale $\scriptstyle I$, on peut d’abord donner des valeurs fixes aux variables $\scriptstyle \eta _{1},\dots ,\eta _{n}$ et, par conséquent, à leur somme $\scriptstyle x$, et étendre l’intégration par rapport aux $\scriptstyle \xi$ à toutes les valeurs positives de ces variables, pour lesquelles la somme $\scriptstyle \xi _{1}+\dots +\xi _{p}$ est comprise entre $\scriptstyle h-x$ et $\scriptstyle h-x+dh$. Cela nous donne

$\scriptstyle \int d\xi _{1}\dots d\xi _{p}={\frac {1}{(p-1)!}}(h-x)^{p-1}dh.$