dispensons aujourd’hui, grâce aux conventions sur les signes + et - ), et remarque enfin que si, dans les quatre angles, l’hypothèse conduit à une valeur de l’ordonnée nulle ou affectée du signe — , le problème doit être regardé comme impossible. Roberval fait observer que le problème ad quatuor lineas est toujours possible dans les quatre hypothèses. Descartes répond, le 17 août, qu’il a voulu faire une remarque générale, sans viser en particulier un énoncé pour lequel évidemment il y a toujours possibilité. En bonne foi, on ne peut guère entendre autrement le passage de la Géométrie dont il s’agit. En tous cas, la critique ne porte que sur la rédaction ; elle a un caractère de pédantisme accusé.
Mais, d’après la réponse de Carcavi, Roberval ne paraît pas avoir compris ou admis l’excuse de Descartes ; et nous le voyons mettre en avant d’autres critiques se rattachant au même sujet et qui témoignent au moins de sa part d’une étude de la question ayant amené un progrès réel. Descartes, en traitant le lieu ad quatuor lineas, s’était dispensé d’examiner les quatre hypothèses qu’il avait signalées comme à faire sur la position du point C. Comme il l’écrivait à FI. de Beaune, le 20 février 1639 (t. II, p. 61 1, 1. 25), il n’a point cherché à donner l’analyse complète du problème, mais seulement le mode de construction des lieux. Roberval, en refaisant l’analyse, a constaté qu’elle conduit, non pas à une seule conique donnée, mais à un couple de coniques. Du moins, quoique Carcavi paraisse l’ignorer (a-t-il voulu, de concert avec Roberval, en faire un mystère à Descartes?), il n’est guère admissible que la reconnaissance de l’existence de points du lieu dans les quatre angles n’ait pas été immédiatement suivie de la conclusion que le lieu comprenait plusieurs coniques. — D’autre part, Roberval remarque, à propos des figures de la Géométrie, que le lieu doit passer par les quatre points où se coupent les deux couples de droites données. Nous avons déjà vu cette remarque en septembre p63g (voir t. Il, p. 58o, éclaircissement sur p. 576, 1), et il est incompréhensible que Carcavi parle des six points où se coupent quatre droites, à moins d’admettre qu’il n’ait pas saisi le sens des paroles de Roberval.
Comme le disait Descartes en lôlîg (II, p. 576, 1. 6), il ne fallait pas une grande science pour faire cette remarque. Mais la décomposition du lieu en deux coniques a une plus grande importance. Lorsqu’il rédigeait à la hâte sa Géométrie, Descartes connaissait-il cette décomposition ? S’est-il tu volontairement à cet égard, comme il l’a certainement fait sur d’autres points qu’il s’est abstenu d’éclaircir pour les autres? Il est a peu près impossible de se prononcer sûrement à cet égard. En tous cas, du moment où il ne laisse rien supposer de pareil dans la rédaction de sa Géométrie, il est juste de reconnaître le mérite de l’analyse de Roberval. Mais à quelle époque remonte-t-elle?
En parlant d’une publication faite dès 1637 comme communication à la « Conférence » des mathématiciens de Paris (la première Académie), Carcavi commet un de ces anachronismes qu’on ne rencontre que trop
