J22 Correspondance.
��L'équation dinérentielle de la seconde ligne de Florimond de Beaune,
ix — b
��à savoir : ^^- = ^^-y^ [voir l'éclaircissement qui précède), devient dès lors
��^ = — ^-p^- Elle correspond, sous cette forme, à la propriété trouvée par Descaries, que, pour les coordonnées obliques qui ont été choisies, la sous-tangente est constamment égale à B C.
Le problème est dès lors ramené à une quadrature simple, et nous tire- rions immédiatement aujourd'hui : p^. = ô L — . • En d'autres termes, si Ton prend pour unité la ligne AB, la distance A« à l'axe des j^ d'une ordonnée P V est représentée par le logarithme naturel de cette ordonnée.
Page 5 1 6, 1. : 5. — Le procédé que Descartes a appliqué sur un cas par- ticulier, mais qu'il présente comme général, peut se représenter de la façon suivante.
Supposons que la sous-tangente soit donnée, par exemple, en fonction de l'ordonnée^, et que l'on ait, en conséquence: -f'= F^. Faisons croître j' par différences égales, et supposons j' = mt^y correspondant
m
à jf_ = o ; posons X — x = ^.x Si, dans un intervalle considéré,
il n'y a pas de point d'inflexion, Ax» sera compris entre \.y
¥y m
et ^^\y, et par conséquent x =2 A x sera compris entre
Jti— I "+i
m Yy m-i Yy l Fj^
2) — ~ t^y et Yi — ^ ^y- La différence des deux limites, 1 —
"+ • -^ » ^ \ -'m
V y^\
A^, pourra être rendue aussi petite que l'on voudra, en prenant
�� ��bky suffisamment petit, c'est-à-dire m suffisamment grand.
Le problème est donc bien ramené à une quadrature, et la possibilité d'obtenir en tous cas celle-ci par une sommation de termes, avec une approximation indéfinie, est démontrée.
Dans le cas particulier où Y y est constant, L - sera compris entre A ! — et — ^ — A î — + ...+-■ La propriété caracté-
��«'n + i' 'm — I H+i'K + 2
ristique de la fonction ressort d'ailleurs immédiatement de l'exposition de Descartes, quoiqu'il ne l'ait pas mise en évidence. On voit en effet que a^ ou AXrt est la même fonction de — ^ que A« ou x» l'est de -.
Page Si-, 1. 2. — Les inégalités posées par Descartes au commence- ment de cet alinéa reviennent à
OU bien
^^<L»-i<îi^.
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