La simplicité de ce dernier cas doit incliner à croire que c’était là la propriété trouvée par Beaune.
Quoi qu’il en soit, les questions qu’il avait posées offrent les premiers exemples connus de ce que l’on a appelé le problème inverse des tangentes, et on voit que leur inventeur a eu la notion très nette de l’identité de ce problème avec celui des quadratures. Descartes a dû apercevoir cette iden- tité tout aussi clairement; les théorèmes dont il parle p. 514, 1. 6, et qu’il n’a pas conservés, concernent évidemment des intégrations obtenues, non pas directement, comme on avait fait jusqu’alors, mais comme inverses de différentiations portant sur diverses classes d’expressions rationnelles ou sur leur racine carrée. Il n’y avait plus qu’à combiner une notation com- mode pour constituer le calcul infinitésimal tout entier, et l’on peut dire que le principe essentiel en était dégagé.
Ce qui retarda l’invention, c’est que les fonctions logarithmiques et circulaires n’étaient pas encore introduites en algèbre, ne valaient que comme nombres tabulaires ou relations mécaniques, ainsi que disait Descartes. Or l’introduction de ces fonctions ne devint possible que lorsqu’on arriva à les représenter sous forme de séries indéfinies. Tout ceci est aisé à constater, précisément à propos de la façon dont Descartes va traiter la seconde ligne de Florimond de Beaune, qu’il choisit au lieu de la troisième, sans doute parce que le problème était plus compli.q^ué. Après avoir fait des essais qui l’ont convaincu que la relation entre les coordonnées de la courbe ne pouvait être algébrique, Descartes arrive incontestablement, par le procédé qu’il expose comme plus général (p. 514, 1. 14), à recon- naître la véritable nature (logarithmique) de cette relation. Si, par une coquetterie d’analyste, il évite de prononcer le mot de logarithme, il ne faut pas s’y tromper ; sa description de la courbe (p. 517, 1. 3) a trop de rapports avec la façon dont Napier avait conçu les logarithmes, pour que l’on ne doive pas croire que Descartes avait une exacte connaissance de cette conception.
Si, d’autre part. Descartes n’arrive pas à représenter réellement le logarithme par une série indéfinie de termes exprimés analytiquement en fonction de l’inconnue, il parvient au moins, comme on le verra dans les éclaircissements qui suivent, à comprendre le logarithme d’un nombre rationnel entre deux suites dont le nombre des termes peut croître indéfiniment et dont la différence peut devenir aussi petite que l’on veut. Il a donc conscience, dans une certaine mesure, de la lacune qui arrêtait les progrès de la science, et que sans doute il eût été capable de combler, s’il ne s’était pas consacré à d’autres travaux.
Page 5i5, 1. 4. — Si, comme Descartes, on prend pour axes BM et BY {x’,y’) au lieu de A C et A Y (x,jr), les anciennes coordonnées s’expriment, en fonction des nouvelles, par les relations :
