SECTION IV. DE L'HYDRODYNAMIQUE.
valeur ffrds; donc ffrds est égale à l'expression qu'on vient de trouver, ce qui donne
978. *rp=K«U-/r<k(|f),
équation qui tient lieu de celle de l'art. (966), par laquelle on exprime que le fluide est compressible ou incompressible.
979. Soient maintenant, comme auparavant , les puissances V, <p', <p" parallèles aux axes des x,yetz, qui agissent sur l'élé- ment fluide projeté en G et G', et u , w', u" les vitesses parallèles à ces trois axes , au bout du temps t. Comme les vitesses sont pro- portionnelles aux espaces parcourus pendant un même temps ,
on a u : u' : u 9 : 9 1 1 dx\ dy : dz [ ds; d'où w = £f>,u' = £f, u = 7; Vy udy = u'dx , udz = id'dxy u'dz = u"dy; on tire des
mêmes proportions, ou plus simplement de la propriété démon- trée à la fin de l'art. (260) , ^ = wu+ u'u'-h u"u".
980. Observons que puisque chacune des variables y et z peut être exprimée en valeur de x, ces variables y et z ne peu- vent varier sans que x varie aussi , et doivent être constantes ,
lorsque x est constante. Il suit de là que les quantités (Jjy) , (tt), (77)» etc. sont nulles ; car (^) dy étant la différentielle de u,
par rapport à y, en supposant x, z et t constantes , et x ne pou- vant être constante sans que y le soit aussi, cette différentielle
(^) dy ne peut pas exister, et ainsi des autres. Les valeurs des quantités X, X', X", (971), se réduiront, par cette considé- ration, à x - ( £ ) - u (£) , x' - (£) u (g), X" _ (£-)
u (77-), et il n'y aura que deux variables, x et t. On tirera de là
981. X dx -+• X'dy •+• X"dz dx -H(4f) «*T (7?) «fe -+- u -f- wdj h- ( Jr) udz. Mais, à cause des équa- tions (979), udy = u'dx, udz — u"dx y on a udx (jf) -+-
(£) = «fa (è) ■*■ «v*
Remarquons que cette expression est égale à la moitié de la différentielle de uu-^u'u' u"u" par rapport à x } c'est-à-dire la
