I" PARTIE. PRINCIPES DE LA MECANIQUE. 19
Ce que nous venons de prouver dans le cas de la raison in- verse double, peut se prouver d'une manière absolument sem- blable dans le cas d'un rapport inverse quelconque, c'est à dire lorsque , ou , seront égaux à un nombre quelconque n ; donc la proposition est généralement vraie dans tous les cas où les masses seront en raison inverse des vitesses (*).
nique, m
les uns sur les autres, animés de forces quelconques , 'mais dont les quantités et les directions sont tellement combinées , qu'ils demeurent tous en repos par leur action réciproque. Nous appel- lerons quantité de mouvement d'un corps le produit de sa masse c>rcr, n .t, n c t .
'» ' A eu iliot lon-
par sa vitesse. « «uni ,,-y a P .u
Examinons maintenant ce qui a lieu lorsque deux corps vien- t ulllbte nent se choquer et qu'il n'en résulte pas Y équilibre, c'est-à-dire lorsque leurs masses ne sont pas en raison inverse de leurs vî- »' .lonqtfm tesses. On conserve toujours les mêmes hypothèses de l'art.(34). rcp^! rp "' tc * 39. Supposons d'abord que l'un des corps dont la masse est m
(*) Le cas où les Met m seraient incommensurables pouvant souffrir quelques difficultés, M. d'Alembert en a donné une démonstration particulière dans sa Dy namique. La voici , avec l'observation préliminaire qui y conduit.
Dans le cas où M et m sont commensurables, si MV > ou < m m, il ne peut y avoir d'équilibre. Car supposons pour un moment que les corps M et m se fassent équilibre en cet «îtat ; soient imaginés ces deux corps M , m , sur un plan , et soit supposé que ce plan soit mu en emportant les deux corps avec une vitesse x qui soit dans le sens de V, ou dans un sent contraire, et qui soit telle que MV ± Mr = mu zp mx; il est visible que les corps M, m, ainsi emportés, se choqueront dans l'espace absolu avec des vitesses V rfc x, u zp x, qui seront en raison inverse de leurs masses, et que par conséquent, suivant ce qui a été dé» montré ci-dessus , ils doivent rester en nq>o$ dans cet espace absolu. Cependant ils n'y reste, roient pas si , comme on le suppose, ils se faisoient équilibre avec les seules vitesses Vet «; car ces vitesses V et U étant détruites , par l'hypothèse , à la rencontre des deux corps, il leur resterait la vitesse commune r. avec laquelle rien ne les empêcherait de se mouvoir.
Supposons à présent que les niasses M, m, sont incommensurables, de manière que m = i*p , et M = /tV P et p étant deux nombres entiers, et z < m, je dis que si
m X " — MVj les ilrnx corps resteront en repos après le choc.
Car supposons qu'ils conservassent du mouvement , et qu'il fallut , pour l'empêcher, ajouter ou retrancher do la masse M une quantité t ; la masse ^l' + x±/, animée de la vitesse V, serait donc en équilibre avec la masse m ou f*p , animée de la vitesse u. Or la quantité t doit itre nécessairement plus petite que car si elle ctoit plus grande, on aurait juP+z + o
a«P -f- fL. De plus , cette dernière masse /.P animée de la vitesse , fera équilibre
m u
à la masse m , animée de la vitesse u. Or puisque z < ? , on a — r— — < —5— — , c'est-à-
dire < V. Donc, d'après l'observation préliminaire du commencement de cette note, la quantité m? ■+- z ■+■ t, qu'on suppose plus grande que pP -+- /1, étant animée de la vitesse V plus
grande que — ^ , ne saurait être en équilibre avec la masse m animée de la vitesse u.
Donc t doit nécessairement être < ^ ; et comme t* peut être aussi petit qu'on voudra , il s'en- suit que t =: o.
