SECTION II. DE LA DYNAMIQUE. 197
M», nm\ et pn ; les lignes x, x\ dx, dx', sont constantes par rapport à la variation qu'indique le signe <T.
Cela posé, pour énoncer que la variation du temps par Mmm' et par Maire' est nulle, il faut poser l'équation
ou, parceque 20, diviseur commun, est constant,
'(£-#)-•■
Les dénominations \/x y \/x\ sont constantes par rapport à la variation qu'indique «f. Quant aux numérateurs, on a ds* = dy*-*-dx* et J'ds*, ou 2 dsf - ds= idy & *dy , «T* dx, étant nul. On a pareillement ds"= dy'*-i- dx", et ids' £'ds'=idy'£-dy K 7
on tire de là <T- ds = et f>ds'= dy, ds f y ' ; et en substituant
ces valeurs dans l'équation <T (-^ -h -£7) = 0, on a
dyi dy dyt.dy' __
dty/X ^ dl' v/x'
Observons maintenant que, cette équation n'ayant lieu que depuis M jusqu'en m', la longueur gm'= g h-*- hm'= dy-\- dy* doit être censée constante par rapport à ce qu'exprime cette équation ; on a donc «T ( dy -+- dy') = o , et par conséquent <f • dy = — «T. dy'; ce qui réduit l'équation à — zffi? = o, ou â J (5^77) = o, équation de la courbe cherchée.
La première intégrale de cette équation donnera = A, qui , en supposant que x = a lorsque la courbe devient paral- lèle à l'horizon, ou que dy — ds, donne A = , et se change en = -^r > ou ad y* = xds* = xdy % -h xdx*. Donc
c?/ = yjfj^R » Multiplions le second membre, haut et bas, par il viendra <y = = ^0 * , dont
l'intégrale est/ = B — y/(ûa: — **) '
Puisque l'abscisse CR (/g-. 1 13), répondant au point A le plus bas de la courbe , ou la verticale BA oui lui est égale , a pour ] u courbe d. valeur a, imaginons un demi-cercle décrit sur le diamètre AB , ceUuut «m on aura, en traçant l'horizontale PQ, nommant CQ, x-, QM, y\ C)cU> " u - PT = \/{ax — xx) j BT = f^H-**) > la constante B= o, puis- qu'on a en même temps/ = o , PT= o, et BT = o ; donc QM, ou CS = BT — PT. Or, lorsque le point S sera en B, le point M sera en A3 on aura donc CB = BTA. Donc CB — CS, ou BS =
