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En sorte qu’appelant un de ces systèmes, système direct, et l’autre système inverse, on pourra établir que :

7. Par tout point de l’hyperboloïde passent deux génératrices, l’une directe, l’autre inverse.

8. Que chaque génératrice directe, rencontre toutes les inverses et réciproquement.

9. Qu’une génératrice directe ne peut jamais rencontrer une génératrice directe ; et vice-versa, que les génératrices inverses ne peuvent jamais se couper.

10. Théorème. Deux sphères tangentes à l’hyperboloïde étant données, si on mène un plan ${\text{P}}$ tangent en ${\text{F}}$ et $f$ à ces deux sphères, il coupera l’hyperboloïde suivant une courbe analogue aux sections coniques, et dont les foyers seront ${\text{F}}$ et $f$.

Soient ${\text{O}}$ et $o$ les centres des deux sphères que nous désignerons par l’indication de leurs centres. Ces deux sphères toucheront l’hyperboloïde suivant deux cercles parallèles ${\text{C}}$ et $c$. Par un point quelconque $m$ de l’intersection de l’hyperboloïde et du plan ${\text{P}}$, menons une génératrice quelconque. Elle sera tangente quelque part en ${\text{T}}$ et $t$ aux deux sphères, et les points ${\text{T}}$ et $t$ se trouveront, l’un sur le cercle ${\text{C}}$, l’autre sur $c$.

Maintenant par le point $m$ menons les droites $m{\text{F}}$ et $mf$ ; la première sera évidemment égale à $m{\text{T}}$, la seconde à $mt$, puisque les deux premières sont deux tangentes menées du point $m$ à la sphère ${\text{O}}$, et les deux secondes à la sphère $o$.

Or, il arrivera de deux choses l’une ; ou le point $m$ sera compris entre les cercles ${\text{C}}$ et $c$, et alors tous les autres points