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[Fig. 1]

D’abord par le point ${\text{A}}$ menons une droite ${\text{AB}}$, perpendiculaire à l’axe du cône, puis par le milieu ${\text{B}}$ de cette droite, menons ${\text{BV}}$ parallèle à l’arête ${\text{SQ}}$, nous aurons :

${\text{2 BV=QE=QK-EK=AR-EK= AD-DE=AV+VD-(VE- VD)}}$,

et comme ${\text{AV=VE}}$, on en déduit

${\text{2BV = 2DV}}$, ou ${\text{BV = DV}}$.

8. Si donc du point ${\text{A}}$ on mène la droite ${\text{AE}}$ quelconque, et qu’à partir du point ${\text{V}}$, on prenne des deux côtés une longueur égale à ${\text{BV}}$, les deux points ainsi construits seront à la focale.

Cette construction, la plus simple et la plus élégante de toutes a été employée la première par M^r Quetelet, qui l’a tirée à priori de l’état de la section considérée dans le cône. Elle conduit directement à celle-ci :

9. Menez un cercle tangent en ${\text{B}}$ à la droite ${\text{BV}}$, et par le point ${\text{A}}$ conduisez lui une tangente ${\text{AD}}$. Le point de contact ${\text{D}}$ est à la focale, puisque l’on a évidemment ${\text{BV}}={\text{DV}}$, ce qui rentre dans la construction précédente.

10. Pour abréger nous appellerons désormais la ligne ${\text{BV}}$ la directrice de la focale et le point ${\text{A}}$ son sommet.

En reprenant la construction (8), que nous avons donnée pour la focale, on observera que si du point ${\text{B}}$ on mène deux droites ${\text{BD}}$ et ${\text{BF}}$ aux points ${\text{D}}$ et ${\text{F}}$, l’angle ${\text{DBF}}$ est droit quelque soit la position de la droite ${\text{AE}}$. Or à mesure que l’on diminue l’angle ${\text{BAE}}$, les droites ${\text{BD}}$ et ${\text{BF}}$ deviennent de plus en plus courtes. D’un autre côté, le point ${\text{B}}$ appartient à la courbe, comme on le voit en construisant les points de la focale