En appliquant cette construction à la parabole génératrice de la focale et prenant le nœud pour point lumineux, on pourra donc construire la caustique par réflexion de cette parabole, c'est-à-dire la développante de notre focale : c'est ce que j'avais annoncé (28).
En reprenant notre formule , on voit que ne peut-être infini qu'autant que l'on ait , ou , c'est-à-dire, que le point lumineux tombe sur le milieu de la corde ; ou en d'autres termes que le cercle ayant pour diamètre la première moitié du rayon osculateur à partir du point d'incidence, doit passer par le point lumineux.
Cette condition établie, nous pouvons revenir à la recherche du point d'inflexion, que nous avons reconnu à la focale.
Nous observerons d'abord que, pour ce point d'inflexion, le rayon osculateur de la focale doit être infini, donc le rayon réfléchi par la parabole au point corrélatif de ce point d'inflexion doit être infini. Ainsi le cercle décrit sur la première moitié du rayon osculateur de ce point corrélatif, et à partir de ce point , doit passer par le noeud de la focale. Ecrivons cette condition en analyse : pour cela, supposons que la parabole soit rapportée à un système d'axes rectangulaires, dont l'origine soit à la rencontre de la directrice de la focale et de la perpendiculaire qu'on peut lui mener par le point . Cette perpendiculaire et la directrice seront prises l'une pour axe des et l'autre pour axe des ; désignons de plus par la distance du foyer à la directrice, et
