ans, au boul desquels il revient à peu près au même point d’où il était parti.
Si la force qui attire la lune vers la terre était unique, et qu’elle fut exactement en raison inverse du carré de la dislance, l’apogée serait immobile, puisque la lune décrirait alors exactement et rigoureusement une ellipse dont la terre occuperait le foyer, comme l’a démontré Newton, et une foule d’auteurs après lui. Mais cette force est altérée, et dans sa direction et dans sa quantité, comme nous l’avons vu plus haut ; il n’est donc pas surprenant qu’il en résulte un mouvement dans l’apogée de la lune.
La première difficulté qui se présente, tombe sur la méthode par laquelle on doit déterminer ce mouvement. Il semble d’abord qu’on puisse y parvenir, en se servant à l’ordinaire de méthodes connues pour la solution des problèmes oii l’on néglige de petites quantités, c’est-à-dire en employant dans chaque correction une valeur de plus en plus exacte du rayon vecteur ; mais dès la seconde correction, cette méthode introduirait dans la valeur du rayon vecteur des arcs de cercle qui rendraient cette valeur très-fautive. II faut convenir pourtant que comme l’orbite de la lune n’est pas fort excentrique, et que les forces qui l’altèrent ne sont pas très-considérables, on pourrait se servir de telle méthode qu’on voudrait pour déterminer cette orbite durant un petit nombre de révolutions, et qu’en ce cas on parviendrait à déterminer pendant ce même petit nombre de révolutions le mouvement de l’apogée, tel que la théorie doit le donner. Mais en suivant cette route, on ne trouverait pas le mouvement de la lune pour un nombre de révolutions quelconque, et il serait impossible de s’assurer, par la théorie, si le mouvement de cette planète pendant plusieurs années est tel que l’observent les astronomes. Il est donc nécessaire d’avoir une méthode qui donne le mouvement de l’apogée de la lune pour tant de temps qu’on voudra, et c’est en cela que consiste une des principales difilcultés qu’on rencontre pour intégrer l’équation de l’orbite. Le chemin que j’ai pris pour résoudre ce problème est fort simple ; en vertu de la forme que je donne à l’équation différentielle, on trouve par la seule inspection de cette équation, sans le secours d’aucun autre calcul, les différens termes de la sérié que donne le mouvement de l’apogée.
Mais la nature de cette série même occasione ici une difficulté nouvelle. Le premier terme de la série ne donne à l’apogée qu’environ la moitié du mouvement réel qu’on trouve par les observations. Il était naturel de penser que les autres termes de cette série, pris ensemble, étaient beaucoup plus petits que le premier,
