suite ils rapportent à l’écliptique les mouvemens de la lune dans ce plan ; mais il me paraît beaucoup plus simple et plus commode de considérer d’abord le mouvement de la lune dans l’écliptique même, c’est-à-dire la projection de son orbite sur l’écliptique. Deux raisons me font penser ainsi : la première, c’est que par cette méthode on a immédiatement le lieu de la lune dans l’écliptique, sans avoir besoin de le déduire du lieu de la lune dans son orbite réelle, laquelle change à chaque instant de position ; la seconde, c’est que le soleil, la terre et la lune, ou plutôt la planète feinte qui est comme la projection de la lune dans l’écliptique, exécutent leurs mouvemens dans un même plan ; circonstance qui facilite un peu le problème.
Par le principe de la décomposition des forces, toutes les puissances qui agissent à chaque instant sur la lune ou sur le mobile qui la représente, peuvent être réduites à deux autres, dont l’une soit dirigée vers la terre, et l’autre soit perpendiculaire au rayon vecteur. Ainsi il faut d’abord terminer l’équation de l’orbite décrite en vertu de ces deux forces. Une simple analogie fait connaître la puissance qui, tendant uniquement vers la terre, ferait décrire à la lune son orbite telle qu’elle est ; cette puissance, ainsi qu’il est aisé de le présumer, renferme les deux forces dont il s’agit ; et comme on connaît depuis long-temps l’équation de l’orbite décrite en vertu d’une seule puissance dirigée vers un point fixe, on parvient sans peine à une équation différentielle du second degré, qui est celle de l’orbite lunaire. On peut sans doute arriver à cette équation par différens chemins, mais plusieurs seraient assez embarrassés, et nul d’entre eux, si je ne me trompe, n’est aussi simple que celui que j’ai suivi.
Cette équation étant trouvée, on n’a encore surmonté qu’une très-petite partie des obstacles. L’intégration de l’équation en présente de nouveaux, premièrement en elle-même, et ensuite relativement à la nature de la question proposée. En effet, non-seulement il faut trouver une méthode pour intégrer cette équation aussi exactement qu’on voudra par approximation, méthode qui ne se présente pas facilement, et qui demande plusieurs adresses de calcul : il faut encore savoir distinguer les termes qui doivent entrer dans cette approximation. Quelques unes des quantités qui paraîtraient devoir être négligées, à cause de la petitesse des coëfficiens qu’elles ont dans la différentielle, augmentent beaucoup par l’intégration, et deviennent très-sensibles dans l’expression du rayon vecteur de l’orbite. Quelques autres qui paraissent assez petites dans l’expression du rayon vecteur, ou qui ont déjà augmenté par l’intégration,
