j’ai pris sur la courbe, je mène des ordonnées AD, BE, perpendiculaires à cette ligne fixe CE, rpie ponr abréger j’appelle Vaxe de la courbe. Il est d’abord évident que la position de la sécante est déterminée par la distance DE des deux ordonnées et par leur différence BO ; en sorte que, si on connaissait cette distance et cette différence, ou même le rapport de la distance des ordonnées à leur différence, on aurait la position de la sécante. Imaginons à pésent que des deux points A, B, que nous avons supposés sur la courbe, il y en ait un, par exemple B, qui se rapproche continuellement de l’autre poiot A ; et que par cet autre point A, qu’on suppose fixe, on ait tiré une tangente AP à la courbe ; il est aisé de voir que la sécante AB, tirée par ces deux points A, B, dont l’un est supposé se rapprocher de plus en plus de l’autre, approchera continuellement de la tangente, et enfin deviendra la tangente même, lorsque les deux points se seront confondus en un seul. La tangente est donc la limite des sécantes, le terme dont elles approchent de plus en plus, sans pourtant jamais y arriver tant qu’elles sont sécantes, mais dont elles peuvent approcher aussi près qu’on voudra. Or nous venons de voir que la position de la sécante se détermine par le rapport de la différence BO des ordonnées, à leur distance DE. Donc si on cherche la limite de ce rapport, c’est-à-dire la valeur dont ce rapport approche toujours de plus en plus à mesure que l’une des ordonnées s’approche de l’autre, cette limite donnera la position de la tangente, puisque la tangente est la limite des sécantes.
En quoi consiste donc le calcul qu’on appelle différentiel ? À trouver la limite du rapport entre la diitérence finie de deux quantités, et la différence finie de deux autres quantités, qui ont avec les deux premières une analogie dont la loi est connue.
Il est évident que plus chacune de ces différences es petite, plus leur rapport approche de la limite qu’on cherche. Il est de plus évident que tant que ces différences ne sont pas absolument nulles, le rapport n’est pas exactement égal à cette limite ; et que lorsqu’elles sont nulles, il n’y a plus de rapport proprement dit : car il n’y a point de rapport entre deux choses qui n’existent point ; mais la limite du rapport que ces différences avaient entre elles lorsqu’elles étaient encore quelque chose, cette limite n’est pas moins réelle ; et c’est la valeur de cette limite qui conduit, comme nous l’avons vu, à déterminer la position de la tangente.
Pour faire entendre par un exemple ce que je viens de dire sur la limite des rapports, je suppose deux quantités dont la seconde soit égale au double de la première plus au carré de
