Ces rapports peuvent être, ou exprimés par des nombres, ou incommensurables.
Le rapport des surfaces, ou pour abre’ger, les surfaces mêmes, peuvent être représentés, comme nous l’avons expliqué plus haut, par le produit de deux lignes, en regardant ces lignes comme exprimées par des nombres qui en indiquent le rapport.
Il n’est pas même nécessaire que le rapport de ces lignes soit commensurable ; et quel qu’il soit, le produit des quantités qui expriment ce rapport représentera la surface.
De même et par la même raison un solide ou corps géométrique, ayant les trois dimensions, peut être représenté par le produit de trois lignes, c’est-à-dire de trois quantités, dont le rapport soit le même que celui de ces lignes.
Or les caractères algébriques désignant également bien, soit les nombres, soit les rapports incommensurables, comme on l’a vu ci-dessus, ces caractères peuvent servir parfaitement à représenter les lignes, en sorte que le produit de deux caractères algébriques peut exprimer une surface, celui de trois un solide, etc.
Par conséquent les opérations qu’on pourra faire sur ces caractères, les rapports qu’on y découvrira, en un mot les vérités qu’on pourra tirer de leur combinaison par des opérations algébriques, exprimeront, étant traduites du langage algébrique en langage géométrique, des vérités qui seront relatives au rapport des lignes, des surfaces et des solides.
Par la même raison, les opérations algébriques qui servent à résoudre les questions qu’on peut proposer sur les nombres, serviront aussi à résoudre les questions géométriques qu’on peut proposer sur le rapport des lignes, des surfaces et des solides ; et par conséquent en général à résoudre la plupart des questions qui ont rapport à cette science. En effet, ces questions étant analysées, se réduisent pour l’ordinaire à trouver certains rapports entre certaines lignes, certaines surfaces, certains solides ; puisque la plupart des propriétés des figures consistent, ou dans le rapport qu’il y a entre quelques unes de leurs parties, déterminées d’une certaine manière, ou dans le rapport de certaines lignes tirées dans ces figures, ou dans le rapport de ces figures, prises dans leur enlier ou par parties, avec d’autres figures aussi prises dans leur entier ou par parties, et ainsi du reste.
Toutes ces considérations suffiraient pour faire sentir l’usage et l’utilité de l’application de l’algèbre à la géométrie. Mais il est surtout une branche de cette science, où l’analyse algébrique est extrêmement utile ; c’est la théorie des courbes.
Pour s’en convaincre, il faut considérer d’abord la manière
