avions un plus grand ou un plus petit nombre, ou si au lieu de disposer ces caractères comme nous le faisons pour exprimer les nombres, nous les disposions autrement, et que par là nous changeassions et leur valeur intrinsèque et leur valeur relative. Mais outre les principes sur lesquels sont fondées ces règles, l’ariliimétique en a d’autres plus généraux, indépendans des signes par lesquels on peut exprimer les nombres, et uniquement attachés à la nature des nombres mêmes ; tels sont ceux-ci.
Si on retraiiche un plus petit nombre d’un plus grand, et qu’on ajoute au plus petit nombre ce qui résultera de cette opération, on aura le plus grand nombre.
Le produit de deux nombres, divise par l’un des deux produisans, donne l’autre produisant.
Le produit du quotient d’une division par le diviseur doit rendre le dividende. On pourrait en énoncer plusieurs autres
Ces sortes de principes n’étant réellement que des propriétés générales des rapports ou des nombres qui ont lieu pour quelques nombres que ce soit, et de quelque manière que ces nombres soient désignés, il s’ensuit d’abord que ces propositions générales peuvent être mises sous les yeux de la manière la plus claire el la plus simple, en supposant les nombres représentés par des caractères généraux ; on a choisi pour exprimer ces caractères les lettres de l’alphabet, comme étant plus connues, et d’un usage plus familier et plus universel. Première utilité de l’algèbre, de servir à représenter et à démontrer d’une manière simple et facile les vérités qui ont rapport aux propriétés générales des nombres.
Ce n’est pas tout. Comme il y a des propriétés générales des nombres indépendantes de la manière dont ils sont exprimés, il doit y avoir aussi pour le calcul des nombres, des principes généraux par le moyen desquels on pourra exprimer, de la manière la plus simple et la plus abrégée qu’il sera possible, le résultat de la combinaison de ces nombres, et des opérations qui seront la suite de cette combinaison. Les règles pour trouver ce résultat sont les règles de l’algèbre. Ainsi l’addition algébrique n’est autre chose que le moyen d’exprimer de la manière la plus courte et la plus simple le résultat de l’addition de plusieurs nombres, en ne donnant à ces nombres aucune valeur particulière ; il en est de même de la soustraction, et des autres règles.
L’utilité de ces règles ne se borne pas à représenter de la manière la plus simple le résultat des opérations qu’on peut faire sur les nombres en général. Supposons qu’un ou plusieurs nombres, ou en général une ou plusieurs quantités (car on a
