ne peut pas dire des autres vérités sur la mesure et le rapport des angles ; car, outre qu’elles dépendent de la première, elles demandent, pour être aperçues, un peu plus de combinaison d’idées.
À l’égard de la proposition sur l’égalité des trois angles d’un triangle à deux droits, je la regarde comme un principe du second ordre ; comme un principe, parce qu’elle est la base et la source d’un grand nombre de vérités de détail ; et comme du second ordre, parce qu’elle a au-dessus d’elle d’autres vérités dont elle dérive.
Après avoir formé cette première branche au-dessous du principe de la superposition, qu’on peut regarder comme le tronc, on en établira une autre partant du même tronc. Elle contiendra d’abord les propositions sur les parallèles et sur l’égalité des triangles qui ont certains angles et certains côtés communs ; proposition dont la preuve naît immédiatement du principe de la superposition. Celles-ci conduiront à la proposition sur l’égalité des parallélogrammes de même base et de même hauteur, qui sera, ainsi que la proposition sur l’égalité des angles du triangle à deux droits, un principe du second ordre, par la quantité de propositions qui en dérivent ; entre autres toutes les vérités sur la comparaison des triangles et des figures rectilignes, et même du cercle avec ces figures.
Les propositions sur les parallèles, et celles qui ont pour objet l’égalité des triangles, conduisent, étant réunies entre elles, à un autre principe fondamental du second ordre, le plus fécond peut-être de toute la géométrie élémentaire, c’est celui des côtés proportionnels des triangles semblables, qui est la base de tant d’autres théorèmes. Il faut cependant remarquer que ce principe pour être démontré, a besoin d’emprunter quelque chose d’une autre science, de celle des proportions, qui n’appartient pas immédiatement à la géométrie, mais à la science des propriétés de la grandeur en général, qu’on a nommée algèbre. On voit par là, pour le dire en passant, combien est peu fondée la prétention de ceux qui veulent exclure l’algèbre de la géométrie élémentaire : aussi sont-ils forcés de l’y admettre sous une forme au moins déguisée, dans les démonstrations qui dépendent des proportions, et dans plusieurs autres ; à moins que ces mathématiciens ne s’imaginent avoir évité l’algèbre, quand ils ont mis dans une démonstration de grandes lettres au lieu de petites.
Les propositions sur l’égalité des triangles qui ont leurs côtés et leurs angles égaux, combinées avec quelques unes de celles sur la comparaison des angles, peuvent conduire à un nouveau principe fondamental du second ordre, non moins fécond que les précédens ; c’est celui du carré de l’hypothénuse du triangle
