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ou, en remplaçant $rh$ par sa valeur,

${\frac {2\pi k\mathrm {V} }{\operatorname {Log_{e}} {\frac {b}{a}}}}{\frac {\partial \mathrm {N} _{1}}{\partial r}}dr.$

D’autre part le nombre des particules produites par unité de temps dans la couche est $2\pi r\lambda \mathrm {N} dr,$ et le nombre des particules détruites pendant le même temps est $2\pi r\lambda _{1}\mathrm {N} _{1}dr.$

En écrivant que le régime permanent est établi, on obtient l’équation

${\frac {k\mathrm {V} }{\operatorname {Log_{e}} {\frac {b}{a}}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {N} _{1}}{\partial r}}-\lambda _{1}\mathrm {N} _{1}+\lambda \mathrm {N} =0\,;$

d’où, en posant

$m={\frac {2k\mathrm {V} }{\operatorname {Log_{e}} {\frac {b}{a}}}},$

${\frac {m}{2r}}{\frac {\partial \mathrm {N} _{1}}{\partial r}}-\lambda _{1}\mathrm {N} _{1}+\lambda \mathrm {N} =0.$

On trouve, en intégrant cette équation,

$\mathrm {N} _{1}=\mathrm {C} e^{\frac {\lambda _{1}r^{2}}{m}}+{\frac {\lambda }{\lambda _{1}}}\mathrm {N} .$

La constante $\mathrm {C}$ se détermine par la condition que, pour $r=b,$ on doit avoir $\mathrm {N} _{1}=0,$ et l’on trouve

$\mathrm {N} _{1}={\frac {\lambda }{\lambda _{1}}}\mathrm {N} \left[1-e^{-{\frac {\lambda _{1}}{m}}(b^{2}-r^{2})}\right].$

La concentration $\mathrm {N} _{1}$ nulle à la paroi du cylindre, augmente à mesure qu’on se rapproche du fil et atteint, pour $r=a,$ sa valeur maximum

$\left(\mathrm {N} _{1}\right)_{a}={\frac {\lambda }{\lambda _{1}}}\mathrm {N} \left[1-e^{-{\frac {\lambda _{1}}{m}}(b^{2}-a^{2})}\right],$

valeur toujours inférieure à ${\frac {\lambda }{\lambda _{1}}}\mathrm {N}$ (concentration d’équilibre de régime avec l’émanation), mais se rapprochant d’autant plus de cette limite que le rayon $b$ du cylindre est plus grand, et que la différence de potentiel $\mathrm {V}$ est plus petite.

Le nombre $\Phi$ des particules reçues par unité de temps et par unité