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de thorium X présents après un temps $t$

$\mathrm {N} ={\frac {\Delta }{\lambda }}\left(1-e^{-\lambda t}\right),$

$\Delta$ étant la vitesse de formation supposée constante, et, pour le nombre $\mathrm {A}$ d’atomes de dépôt actif.

$\mathrm {A} ={\frac {\Delta n}{a}}\left(1-{\frac {a}{a-\lambda }}e^{-\lambda t}+{\frac {\lambda }{a-\lambda }}e^{-at}\right),$

$n$ étant le nombre d’atomes de thorium A qui proviennent d’un atome de thorium X.

Quand le thorium X a été séparé, les nombres d’atomes de thorium X et de dépôt actif, qui sont présents à l’instant $t$ après la séparation, sont donnés par les formules

$\mathrm {N} =\mathrm {N} _{0}e^{-\lambda t},$

$\mathrm {A} =n\mathrm {N} _{0}{\frac {\lambda }{a-\lambda }}\left(e^{-\lambda t}-e^{-at}\right).$

Dans les deux cas le rayonnement ${\mathfrak {I}}$ est donné par une équation de la forme

${\mathfrak {I}}=k_{1}\lambda \mathrm {N} +k_{2}a\mathrm {A} ,$

et le rapport des activités du thorium X accompagné de l’émanation, d’une part, et du dépôt actif en équilibre de régime avec le thorium X, d’autre part, est mesuré par le quotient ${\frac {k_{1}}{k_{2}n}}$ soit ${\frac {1}{\mathrm {K} }}$.

On trouve alors pour l’évolution de l’activité ${\mathfrak {I}}$ du thorium X

${\frac {\mathfrak {I}}{\mathfrak {I}}}_{0}=e^{-\lambda t}\left(1+{\frac {\mathrm {K} a}{a-\lambda }}\right)-{\frac {\mathrm {K} a}{a-\lambda }}e^{-at},$

${\mathfrak {I}}_{0}$ étant l’intensité initiale.

La courbe représentative, après avoir passé par un maximum, tend vers une loi de décroissance exponentielle caractéristique du thorium X ; cette loi est sensiblement atteinte en 4 jours. On peut alors, en extrapolant cette courbe limite vers l’origine, obtenir l’ordonnée initiale $\mathrm {J} _{0}$ qui vérifie la relation

${\frac {\mathrm {J} _{0}}{{\mathfrak {I}}_{0}}}=1+{\frac {\mathrm {K} a}{a-\lambda }}.$