Les quantités des trois substances présentes sur le corps activé
au temps
à partir du début de la désactivation sont ensuite
données par les formules
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}e^{-at},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4ef9b2357cff55a1af7553116b8b0c8b85b661)
![{\displaystyle \mathrm {B} =-n_{1}\mathrm {A} _{0}{\frac {a}{a-b}}e^{-at}+\left(\mathrm {B} _{0}+n_{1}\mathrm {A} _{0}{\frac {a}{a-b}}\right)e^{-bt},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcdc9ee4e6d4a613c7243cb97469ece192f2294)
![{\displaystyle \mathrm {C} =n_{1}n_{2}\mathrm {A} _{0}{\frac {ab}{(a-b)(a-c)}}e^{-at}+n_{2}{\frac {b}{c-b}}\left(\mathrm {B} _{0}+n_{1}\mathrm {A} _{0}{\frac {a}{a-b}}\right)e^{-bt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd8d58fff6e358c6e700da6987762c0984447b5)
![{\displaystyle +\left[\mathrm {C} _{0}-n_{2}\mathrm {B} _{0}{\frac {b}{c-b}}-n_{1}n_{2}\mathrm {A} _{0}{\frac {ab}{(a-c)(c-b)}}\right]e^{-ct}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06f9c5f94dd1f2d4dde2ec872dd860fe72d9e9f)
Ces relations peuvent aussi s’écrire, en mettant en évidence la
proportion de chaque matière qui provient de l’une des trois
matières présentes au début de la désactivation,
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {A} _{0}e^{-at},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4ef9b2357cff55a1af7553116b8b0c8b85b661)
![{\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}e^{-bt}+n_{1}\mathrm {A} _{0}{\frac {a}{a-b}}\left(e^{-bt}-e^{-at}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c5928d9dbc5faf4dcfd41dd34d1b1083312f3b)
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}e^{-ct}+n_{2}\mathrm {B} _{0}{\frac {b}{c-b}}\left(e^{-bt}-e^{-ct}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d9f509734ab702fd9beab51d1bd5b6aa7c58cd)
![{\displaystyle +n_{1}n_{2}ab\mathrm {A} _{0}\left[{\frac {e^{-at}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {e^{-bt}}{(a-b)(c-b)}}+{\frac {e^{-ct}}{(a-c)(c-b)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eac76a0940b2d59c3bf6bfc6b71d1074c6d08b4)
On voit ainsi que la matière B se compose d’une partie
restant de la matière B présente à l’origine, et d’une partie
provenant de la matière A présente à l’origine. De même la
matière C se compose de trois parties
qui proviennent
respectivement de
de
et de
par l’intermédiaire de
En remplaçant
et
par leurs valeurs en fonction de
on trouve
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\Delta }{a}}\left(1-e^{-a\tau }\right)e^{-at}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54e97d6dabdc9ff42824af1b49d86a846844df4)
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\frac {n_{1}\Delta }{b}}\left[{\frac {a}{a-b}}\left(1-e^{-b\tau }\right)e^{-bt}-{\frac {b}{a-b}}\left(1-e^{-a\tau }\right)e^{-at}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de80dfc0c2e839508e5be70c98d32de418c58240)
![{\displaystyle \mathrm {C} ={\frac {n_{1}n_{2}\Delta }{c}}\left[{\frac {bc\left(1-e^{-a\tau }\right)}{(a-b)(a-c)}}e^{-at}+{\frac {ac\left(1-e^{-b\tau }\right)}{(a-b)(c-b)}}e^{-bt}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fd6f5a9d7a2909ac24ea473f8b9e1453853adf)
![{\displaystyle \,-\left.{\frac {ab\left(1-e^{-c\tau }\right)}{(a-c)(c-b)}}e^{-ct}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8504cdafef4d381a0edd8fad6bbcde7cf0ef03f4)
On obtient ensuite pour la valeur du rayonnement
pendant