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des substances dérivées atteignent elles-mêmes des valeurs limites constantes. L’exponentielle $e^{-\lambda _{1}t}$ peut en ce cas être égalée à l’unité pour toutes les valeurs du temps, et les formules (IX) deviennent

(X)	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\{$	$\mathrm {N_{1}}$	$=\mathrm {N} _{1,0},$
		$\mathrm {N_{2}}$	$={\frac {n_{1}\,\lambda _{1}\,\mathrm {N} _{1,0}}{\lambda _{2}}},$
		$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,$
		$\mathrm {N_{m}}$	$={\frac {n_{1}n_{2}\dots n_{m-1}\,\lambda _{1}\,\mathrm {N} _{1,0}}{\lambda _{m}}}.$

Ce cas est applicable aux substances radioactives qui se sont montrées invariables dans les limites de l’expérience (radium, uranium).

Les relations entre les quantités des substances de la série deviennent alors rigoureuses, et ces relations peuvent se déduire directement des équations différentielles (IV), quand on y fait intervenir la condition de régime permanent, en égalant à zéro toutes les dérivées.

Pour chaque substance la vitesse de production est exactement compensée par la vitesse de destruction. Puisque la substance primaire reste constante, le nombre $n_{1}\lambda _{1}\mathrm {N} _{1,0}$ d’atomes de la première substance dérivée, produit par unité de temps, est aussi constant. Soit $\Delta$ ce nombre qu’on peut nommer débit de la substance considérée. Quand la substance primaire est seule présente initialement en quantité $\mathrm {N} _{1,0},$ les quantités des substances dérivées à l’instant $t$ s’obtiennent en remplaçant, dans les formules du problème (I), $e^{-\lambda _{1}t}$ par $1$ et $n_{1}\lambda _{1}\mathrm {N} _{1,0}$ par $\Delta .$

On trouve ainsi

(XI)	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\\\ \ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$\mathrm {N_{1}} =\mathrm {N} _{1,0},$
		$\mathrm {N_{2}} ={\frac {\Delta }{\lambda _{2}}}(1-e^{-\lambda _{1}t}),$
		$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,$
		$\mathrm {N_{m}} =n_{2}\dots n_{m-1}\,{\frac {\Delta }{\lambda _{m}}}\left[1-{\frac {\lambda _{3}\dots \lambda _{m}e^{-\lambda _{1}t}}{(\lambda _{3}-\lambda _{2})\dots (\lambda _{m}-\lambda _{2})}}-\dots \right.$
			$\left.-{\frac {\lambda _{2}\dots \lambda _{m}e^{-\lambda _{m}t}}{(\lambda _{2}-\lambda _{m})\dots (\lambda _{m-1}-\lambda _{m})}}\right].\;$

Pour de grandes valeurs de $t$ on obtient les solutions limites