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La différence représente la solution du problème envisagé, en ce qui concerne la substance d’ordre $m$

(VII)                  $\mathrm {N} _{m}=n_{1}n_{2}\dots n_{m-1}\lambda _{1}\lambda _{2}\dots \lambda _{m-1}$

                                 $\times \mathrm {N} _{1,0}\left[{\frac {(e^{-\lambda _{2}\tau }-e^{-\lambda _{1}\tau })}{(\lambda _{1}-\lambda _{2})\dots (\lambda _{m}-\lambda _{2})}}e^{-\lambda _{2}t}+\dots \right.$

                                             $\left.+{\frac {(e^{-\lambda _{m}\tau }-e^{-\lambda _{1}\tau })}{(\lambda _{1}-\lambda _{m})\dots (\lambda _{m-1}-\lambda _{m})}}e^{-\lambda _{m}t}\right].$

3^o Un cas particulièrement intéressant est celui où la vie moyenne de la première substance est considérablement plus longue que celles des substances dérivées ; autrement dit, la constante radioactive de la première substance est très petite par rapport à toutes les autres constantes de la série. Tel est le cas de l’émanation du radium et des constituants de la radioactivité induite qu’elle produit : radium A, B et C. La quantité de l’une quelconque des substances est, dans le cas le plus général, représentée par une somme de termes exponentiels en $e^{-\lambda _{1}t},\,e^{-\lambda _{2}t},$ etc. Après un temps suffisamment long par rapport aux vies moyennes des substances 2, 3, …, m, toutes les exponentielles deviennent négligeables par rapport à $e^{-\lambda _{1}t}.$ On obtient alors, à partir d’un état initial quelconque, les solutions limites suivantes dérivées des solutions V du problème général :

(VIII)	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$\mathrm {N} _{1}=\mathrm {N} _{1,0}e^{-\lambda _{1}t},$
		$\mathrm {N} _{2}={\frac {n_{1}\lambda _{1}\mathrm {N} _{1,0}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}t},$
		$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$
		$\mathrm {N} _{m}={\frac {n_{1}n_{2}\dots n_{m-1}\lambda _{1}\lambda _{2}\dots \lambda _{m-1}\mathrm {N} _{1,0}}{(\lambda _{2}-\lambda _{1})\dots (\lambda _{m}-\lambda _{1})}}e^{-\lambda _{1}t}.$

Toutes les substances de la série ont donc la même loi de décroissance limite qui est celle de la substance primaire. Les quantités de toutes les substances conservent entre elles des rapports constants, et l’on dit alors qu’elles sont en équilibre de régime radioactif.

C’est ainsi que la loi de décroissance de l’émanation du radium a pu être déterminée par la mesure du rayonnement émis par la radioactivité induite qui l’accompagne ; quelques heures sont nécessaires pour que la loi exponentielle simple caractéristique de l’émanation puisse s’établir.