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Cette solution peut se mettre sous la forme d’une somme de $m$ termes

(V)                                   $\mathrm {N} _{m}=\mathrm {N} _{m,1}+\mathrm {N} _{m,2}+\dots +\mathrm {N} _{m,m}.$

Le terme $\mathrm {N} _{m,1}$ représente la quantité de $\mathrm {N} _{m}$ qui à l’instant $t$ résulte de la transformation de la matière 1. Soit $\mathrm {N} _{1,0}$ la quantité de cette substance à l’instant 0. On trouve

$\mathrm {N} _{m,1}=n_{1}n_{2}\dots n_{m-1}\lambda _{1}\lambda _{2}\dots \lambda _{m-1}\mathrm {N} _{1,0}\left[{\frac {e^{-\lambda _{1}t}}{(\lambda _{2}-\lambda _{1})(\lambda _{3}-\lambda _{1})\dots (\lambda _{m}-\lambda _{1})}}\right.$

$+{\frac {e^{-\lambda _{2}t}}{(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{3}-\lambda _{2})\dots (\lambda _{m}-\lambda _{2})}}+\dots$

$\left.+{\frac {e^{-\lambda _{m}t}}{(\lambda _{1}-\lambda _{m})(\lambda _{2}-\lambda _{m})\dots (\lambda _{m-1}-\lambda _{m})}}\right].$

Le terme suivant $\mathrm {N} _{m,2}$ correspond au terme qui vient d’être écrit dans la solution d’un problème où interviennent les $(m-1)$ substances 2, 3, …, $m.$ On peut donc l’écrire par application de la même formule générale

$\mathrm {N} _{m,2}=n_{2}n_{3}\dots n_{m-1}\lambda _{2}\lambda _{3}\dots \lambda _{m-1}\mathrm {N} _{2,0}\left[{\frac {e^{-\lambda _{2}t}}{(\lambda _{3}-\lambda _{2})\dots (\lambda _{m}-\lambda _{2})}}+\dots \right.$

$\left.+{\frac {e^{-\lambda _{m}t}}{(\lambda _{2}-\lambda _{m})\dots (\lambda _{m-1}-\lambda _{m})}}\right].$

Les termes suivants s’obtiennent par le même procédé jusqu’au dernier pour lequel on trouve

$\mathrm {N} _{m,m}=\mathrm {N} _{m,0}e^{-\lambda _{m}t}.$

Les résultats théoriques qui précèdent permettent de trouver la solution de tous les problèmes relatifs aux transformations radioactives. En voici quelques applications :

1^o On considère une famille de $m$ matières radioactives, dont la première seule existe au temps $t=0.$ Quelles seront à l’instant $t$ les quantités respectives de toutes les matières ?

La solution de ce problème est fournie directement par la théorie. Il suffit de faire dans les formules

$\mathrm {N} _{2,0}=\mathrm {N} _{3,0}=\dots =\mathrm {N} _{m,0}=0.$