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Soit, en effet, $N$ le nombre d’atomes existant au temps $t.$ Le nombre des atomes détruits pendant le temps $d$ est égal à $\lambda \mathrm {N} dt\ ;$ ces atomes ont existé pendant le temps $t.$ Par suite la vie moyenne d’un atome se calculera par la formule

{\frac {1}{\mathrm {N} _{0}}}\sum t\lambda \mathrm {N} dt={\frac {1}{\mathrm {N} _{0}}}\int _{0}^{\infty }\lambda \mathrm {N} tdt={\frac {\lambda }{\mathrm {N} _{0}}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {N} _{0}te^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}=\theta .

L’intégrale $\int _{0}^{\infty }\lambda \mathrm {N} tdt$ représente l’aire $\mathrm {S}$ comprise entre la courbe $\mathrm {N} =f(t)$ et les axes. Le temps $\theta$ est une abscisse moyenne telle que $\mathrm {N} _{0}\theta =\mathrm {S} .$

On a, par exemple, pour l’émanation du radium,

\lambda =2,085.10^{-6}{\frac {1}{\text{sec}}},\quad \mathrm {T} =3,85\ {\text{jours}}\quad \theta =5,55\ {\text{jours}}=133,2\ {\text{heures}}.

2^o Le rayonnement d’une substance radioactive simple est proportionnel au nombre des atomes qui se détruisent dans l’unité de temps, et par suite aussi au nombre des atomes présents à un instant donné.

Une substance radioactive qui est en voie de destruction conserve néanmoins ses propriétés inaltérées jusqu’aux limites d’observation qui peuvent être atteintes. C’est ainsi que la constante radioactive de l’émanation du radium ne dépend pas de la concentration de celle-ci, et ne se modifie pas à mesure que la quantité d’émanation diminue. On doit en conclure que l’émanation qui reste encore après un certain temps est exactement de même nature que l’émanation primitive. On voit ainsi que la transformation ne peut porter sur tous les atomes à la fois, mais sur une fraction du nombre des atomes seulement en un temps donné. On peut imaginer que dans chaque unité de temps un certain nombre d’atomes se détruisent en faisant, en quelque sorte, explosion, pendant que les atomes restants subsistent inaltérés.

Un atome qui fait explosion est un atome qui, pour une raison quelconque, ne réalise plus une configuration stable ; après l’explosion il se produit un réarrangement permanent ou temporaire de l’atome en une configuration nouvelle qui constitue un atome chimiquement différent de celui qui vient de se détruire.