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désigne par $n$ la concentration de l’émanation dans une section placée à une distance $x$ de la section origine, la quantité d’émanation qui traverse dans le sens $\mathrm {O} x$ l’unité de cette section, par unité de temps, est égale à $-\mathrm {D} {\frac {\partial n}{\partial x}},$ où $\mathrm {D}$ est le coefficient de diffusion. L’unité de surface de la section placée à la distance $x+dx$ sera de même traversée dans l’unité de temps par la quantité d’émanation

$-\mathrm {D} {\frac {\partial }{\partial x}}\left(n+{\frac {\partial n}{\partial x}}\right)dx.$

La quantité d’émanation détruite par unité de temps, dans la portion de la tranche qui a comme base l’unité de surface, est égale à $\lambda ndx,$ si $\lambda$ est le coefficient de destruction de l’émanation. L’accroissement rapporté à l’unité de temps de la quantité d’émanation $ndx$ contenue dans l’élément de volume considéré sera donc tel que

${\frac {\partial }{\partial t}}(ndx)=-\mathrm {D} {\frac {\partial n}{\partial x}}+\mathrm {D} {\frac {\partial }{\partial x}}\left(n+{\frac {\partial n}{\partial x}}dx\right)-\lambda ndx,$

d’où l’équation

${\frac {\partial n}{\partial t}}=\mathrm {D} {\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}-\lambda n.$

Si la diffusion est achevée en quelques heures, on peut négliger la destruction de l’émanation pendant un temps aussi court, et l’équation se réduit alors à la forme simple

${\frac {\partial n}{\partial t}}=\mathrm {D} {\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}.$

On peut obtenir la solution de cette équation sous forme d’une série. La solution contient des constantes arbitraires que l’on détermine de manière à satisfaire aux conditions aux limites, d’après lesquelles, au début de l’expérience, l’émanation est répandue uniformément dans la portion $l$ du tube seulement, et la vitesse de diffusion reste constamment nulle aux extrémités du tube. En désignant par $l$ la longueur du tube, par $\mathrm {Q} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{2}$ les quantités d’émanation présentes respectivement au temps $t$ dans les portions 1 et 2 du tube, on trouve

$\mathrm {Q} _{1}={\frac {n_{0}l}{2}}-\mathrm {Q} _{2},$

(6)	${\frac {\mathrm {Q} _{1}-\mathrm {Q} _{2}}{\mathrm {Q} _{1}+\mathrm {Q} _{2}}}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\left(e^{-{\frac {\mathrm {D} \pi ^{2}t}{l^{2}}}}+{\frac {1}{9}}e^{-{\frac {9\mathrm {D} \pi ^{2}t}{l^{2}}}}+\ldots \right).$