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il vient

${\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\,+\,2\alpha {\frac {d\alpha }{dt}}\,+\,b^{2}\alpha \ =\ {\frac {\mathrm {AV} i}{{\mathfrak {I}}c}}t$,

et l’équation se trouve ramenée à la forme classique.

L’équation sans second membre est une équation différentielle à coefficients constants très connue qui caractérise un mouvement amorti, avec couple proportionnel à l’angle d’écart et tendant à ramener le système à sa position d’équilibre. Tel est, par exemple, le mouvement de rotation d’un corps suspendu à un fil qui possède un certain couple de torsion, et éprouvant de la part du milieu ambiant une résistance proportionnelle à la vitesse. La forme de la solution dépend essentiellement de la valeur des constantes $a$ et $b$. Désignons par $\alpha _{1}$, cette solution.

Si $a^{2}>b^{2}$,

$\alpha _{1}\ =\ e^{-at}\,\left(\mathrm {M} e^{{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}t}\,+\,\mathrm {N} e^{-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}t}\right)\,$;

Si $a^{2}<b^{2}$,

$\alpha _{1}\ =\ \mathrm {M} e^{-at}\,\left(\sin {{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}t}\,-\,\mathrm {N} \right)\,$;

Si $a^{2}=b^{2}$,

$\alpha _{1}\ =\ e^{-at}\,\left(\mathrm {M} t\,+\,\mathrm {N} \right)$.

Dans tous les cas, $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont deux constantes arbitraires que l’on détermine par les conditions initiales du problème.

Pour obtenir la solution de l’équation ayant comme second membre le terme ${\tfrac {\mathrm {AV} it}{c}}$ il suffit d’ajouter à la solution de l’équation sans second membre une solution particulière de l’équation complète. Une telle solution $\alpha _{2}$ peut manifestement être obtenue en posant

$\alpha _{2}\ =\ \omega t\,+\,\varphi$,

où $\omega$ et $\varphi$ sont deux constantes à déterminer. On trouve

$\alpha _{2}\ =\ {\frac {\mathrm {AV} i}{\mathrm {B} c+\mathrm {A^{2}V^{2}} }}\,\left(t-{\frac {2a}{b^{2}}}\right)$.

La solution complète est, dans tous les cas,

$\alpha \ =\ \alpha _{1}\,+\,\alpha _{2}$,

et l’on déterminera les constantes $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ par les conditions ini-