fût jaloux de sa gloire ; M. Euler, qui, jeune encore,
était cependant célèbre depuis longtemps, avaient
étendu et perfectionné les méthodes de Jean Bernouilli ;
l’on trouvait dans leurs ouvrages des vues
grandes et profondes sur la nature même d’un calcul :
mais M. Fontaine osa le premier s’occuper de la
théorie générale des équations différentielles, et l’embrasser dans toute son étendue. Ses premières recherches furent présentées à l’Académie dès 1739 ;
mais elles n’ont été imprimées qu’en 1764. Dans cette
partie de son calcul intégral, M. Fontaine a poussé
très-loin la théorie des équations de conditions, dont
Nicolas Bernouilli avait donné les premiers essais.
Dans la seconde partie, il a développé le système des
différentes intégrales que peut avoir une équation des
ordres supérieurs ; il a montré comment toutes ces
intégrales répondent à la fois à la même différentielle
et à la même intégrale finie ; comment, lorsqu’on les
connaît, il ne reste plus, pour avoir l’intégrale finie,
qu’à éliminer les différences ; mais il ne considère que
les équations dont les intégrales sont algébriques. Si
elles sont rationnelles, et pour le premier ordre, il est
aisé de déduire de la méthode de M. Fontaine une
formule finie qui les renferme toutes, et par conséquent
de reconnaître si une équation proposée est
susceptible d’une intégrale de cette forme.
Outre ces deux théories, également importantes et fécondes, on trouve dans son recueil l’idée de rappeler les équations des ordres supérieurs à des équations du premier, en regardant les différentielles comme de nouvelles variables, et l’idée de rappeler
