450 ACADÉMIE DES SCIENCES,
En modifiant un peu l’expression bien connue de M. R. v. Mises, nous posons
(0 ’, *> ?.= « f ^[F(^)][S ft (^)~F(^)]^F(>),
en supposant que la fonction *(i — t) g(t) a une dérivée continue (o < t < i). En remarquant que la loi de distribution <D n (aj) de w* ne dépend pas de la forme de La fonction F(a ?), nous supposerons dans tout ce qui suit que la distribution de X est uniforme dans l’intervalle (o, i), d’où il suit qu’on peut remplacer, dans (i), F(a ?) par a ? et les limites d’intégration par o et i. Désignons par m k le nombre de valeurs observées de X dans l’intervalle
£-" t k •
—j~ <*=- (* = r > a, ..., s)
et soit ■ ■,
tk ~/l mk ~~l) (* = i, a, .„., * — i et *, = -2 f *].
i~
Si nous posons
où
«/. -, *
la fonction caractéristique de la loi $ ns (<i)) de co^ sera
et il sera aisé de prouver :.
Théorème ï. — Soit S et £ deux nombres positifs arbitrairement grands
s
et */ 2 =2 * ? * ow fl " m alors pour s<^S et^<^£,
i
v/ ? r +, c Y"*" -ïx«+*k’.«
Soient
1 ■ — oo
K(ar, J’) = Jg{x)g{y)x(i-y) si jp<yet ■ - ’ ’
&(œ, y)-=J g(œ) g(y>) y{i — œ) si a^y
