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ACADÉMIE DES SCIENCES.

CORRESPONDANCE.

M. Auguste Chevalier prie l’Académie de vouloir bien le compter au nombre des candidats à la place vacante dans la Section de Botanique par le décès de M. H. Lecomte.

ARITHMÉTIQUE. — Sur le premier cas du théorème de Fermat. Note^[1] de M. Marc Krasner, présentée par M. Hadamard.

Le résultat classique de Kummer^[2] sur le théorème de Fermat est celui d’après lequel l’équation de Fermat

(i)

$a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+a_{3}^{p}=0$

est impossible en nombres entiers si le nombre (premier impair) p est régulier : autrement dit, pour qu’elle puisse avoir lieu, il faut que p divise le numérateur de l’un au moins des p — 3/2 premiers nombres de Bernoulli.

Mais, d’autre part, Kummer établit^[3] que, si les trois entiers a₁, a₂, a₃ sont premiers à p, on doit aussi avoir

$B_{\frac {p-i}{2}}\left[{\frac {d^{i}log(a_{m_{1}}+e^{v}a_{m_{2}}}{dv^{i}}}\right]_{v=0}\equiv 0{\pmod {p}}$

pour i = 3, 5, …, p — 2, où B_n est le n-ième nombre de Bernoulli et m₁, m₂ deux quelconques des indices 1, 2, 3. Mais, d’après une formule de John Hershel^[4], donnée aussi par D. Hilbert^[5], on a

$\left[{\frac {d^{i}log(a_{1}+e^{v}a_{2})}{dv^{i}}}\right]_{v=0}=\sum _{k=1}^{i}{\frac {\Delta ^{k}O^{i}}{k!}}\left[{\frac {d^{k}log(a_{1}+\zeta a_{2})}{d\zeta _{k}}}\right]_{\zeta =1}$

1. Séance du 9 juillet 1934.
2. Voir Hilbert, Théorie des corps de nombres algébriques, trad. A. Lévy et Got, Paris, Hermann, 1913.
3. Abhand. der Akad. Wiss. zu Berlin, 1867, p. 41
4. Phil. Trans., 106, 1816, p. 25.
5. Jahresb. d. Deut. Mat. Ver., 4, 1894-1895, p. 175.