SÉANCE DU 7 FÉVRIER 1927. 315
CALCUL DES PROBABILITÉS. — Sur un cas généralisé de la probabilité des épreuves répétées. Note (1) de M. Charles Jordan, transmise par M. Appell.
Une urne contient a, boules marquées 1, a. 2 boules marquées 2, et ainsi de suite, enfin a k+A boules marquées A+’i. Soit. À A -f- a 2 +...+ a k+l = m.
On tire une boule, puis on rajoute à l’urne A + 1 boules marquées du même numéro que la boule sortie. On répète l’opération « fois et l’on demande la probabilité d’obtenir, en’ra épreuves, v, numéros 1, v 2 numéros 2, etv /r+, numéros k + 1. Comme on doit avoir v, + v 2 +... -j- v, ^., = nie problème est à k variables indépendantes. On peut le traiter à l’aide de la fonction hypergéométrique F u de M. Lauricella, laquelle n’est qu’une simple généralisation de la fonction hypergéométrique F H à deux variables de M. Appell (2).
Les cas h= o et h=— 1 sont remarquables.
La probabilité cherchée est
4+1 (1) P^, ..., ^)
Y i a i (a i +h)...(a i +v t h — h) JJ
v, !... v^t ! m(m-- h)...(m-+- nh-h) (~~ V a t
où, pour simplifier l’écriture, on a posé (3, : = j et p.= j avec
r(Ui)r(, "-u.)
La probabilité d’obtenir une boule marquée i au (n + i) ième coup est indépendante de h et de re ; la probabilité totale d’obtenir le numéro i à •la (n-f-i), ibm * épreuve est
(-by.(-h-*)...(-^)
p — ?i y. V v i / •»<) -’k+i / = a t
1 m jLi /-(i-n ~ m’
v 1 +... + v, ^=„ - )
car d’après une formule connue de Cauchy, la somme en facteur est égale à l’unité.
(*) Séance du 31 janvier 1927.
(-) P. Appell et J.Kampé deFérikt, Fonctions hyper géométriques, Paris, 1926. p. n5.
