SÉANCE DU 8 JANVIER 1923. 69
tels que e-+-y]<|A — B|. Par hypothèse, la suite est cdfinale avec les intervalles (A — e, À H- e) et (B — Y], B -h Y]). Soit N un indice arbitrairement donné et considérons les sections A e et B, de la suite À N+1, ... ne contenant respectivement que des points des intervalles (A — e, A + s), (B — Y], B + yj). Soient A h et B k les premiers termes des P mes sections À E et B, . La suite A, B, A 2, B 2, ... de type co n’a pas de limite, c’est-à-dire la suite envisagée n’est pas régulière. Ce qui prouve la proposition.
Il en résulte en particulier qu’une suite régulière transdénombrable est une suite dénombrable suivie par la répétition indéfinie du même nombre.
THÉORIE DES ENSEMBLES. — Sur les ensembles mesurables. Note de M. Tadé Wazewski, présentée par M. Emile Borel.
M. Borel a introduit la notion des ensembles limites restreint et complet d’une suite infinie d’ensembles mesurables (’). Voici leurs définitions :
iiï F v = (F, + F, +...) (F, + F, +...)(Fi+F 4 +...)•••,
limF v =F 1 F ! F ï...+ F ! F !, .. + F î F 4... +....
Bornons-nous aux sous-ensembles mesurables du segment (o, 1). On a le théorème :
I. « De toute classe j F non dénombrable d’ensembles mesurables, on peut choisir une suite pour laquelle
limF VII — "7imF v,
où u " signifie que l’égalité a lieu à l’ensemble de mesure nulle près. » M. Nikodym (2) a remarqué que la fonction
p (F„ F,) = mesure [(F t — F,) + (F 2 - F,)]
jouit des propriétés (a), ((3), (y), (P) :
(a) p(F, F 2) = o équivaut à F lil = "F 2,
((3) p(F 1, F 2) = p(F 2, F I),
(7) p(F 1, F 1) + p(F 1, F l)>p(F 1, F,).
(P). Comme on le sait, cet « espace » fréchétien a une sous-classe dénom (’) De la Vallée-Poussin, Intégrales de Lebesgue, p. 9. ( !) Cette remarque n’a pas été publiée.
