Page:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 164, 1917.djvu/38

38

ACADÉMIE DES SCIENCES.

rème de Cauchy à la fonction $f(x)-\mathrm {F} (x),$ et l’on trouve

(5)    $p(n)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}{\frac {d}{dn}}{\frac {e^{\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}+\mathrm {O} \left(e^{k{\sqrt {n}}}\right)=\mathrm {Q} (n)+\mathrm {O} \left(e^{k{\sqrt {n}}}\right),$    

où $k$ désigne un nombre quelconque supérieur à ${\frac {\pi }{\sqrt {6}}}.$ L’approximation, pour des valeurs assez grandes de $n,$ est très bonne : on trouve, en effet,

${\begin{alignedat}{7}p(61)&=1\,121\,505,&\quad &p(62)&=1\,300\,156,&\quad &p(63)=1\,505\,499\;;\\\mathrm {Q} (61)&=1\,121\,539,&\quad &\mathrm {Q} (62)&=1\,300\,111,&\quad &\mathrm {Q} (63)=1\,505\,536.\;\end{alignedat}}$

La valeur approximative est, pour les valeurs suffisamment grandes de $n,$ alternativement en excès et en défaut.

5. On peut pousser ces calculs beaucoup plus loin. On forme des fonctions, analogues à $\mathrm {F} (x),$ qui présentent, pour les valeurs

$x=-1,\;e^{\frac {2\pi i}{3}},\;e^{-{\frac {2\pi i}{3}}},\;i,\;-i,\;e^{\frac {2\pi i}{5}},\,\dots$

des singularités d’un type très analogue à celles que présente $f(x).$ On soustrait alors de $f(x)$ une somme d’un nombre fini convenable de ces fonctions. On trouve ainsi, par exemple,

(6)       $p(n)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}{\frac {d}{dn}}{\frac {e^{\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}+{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}{\frac {d}{dn}}{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}$       

$+{\frac {\sqrt {3}}{\pi {\sqrt {2}}}}\cos \left({\frac {2\pi n}{3}}-{\frac {\pi }{18}}\right){\frac {d}{dn}}{\frac {e^{{\frac {1}{3}}\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}+\mathrm {O} \left(e^{k{\sqrt {n}}}\right),$

où $k$ désigne un nombre quelconque plus grand que ${\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}.$

${\displaystyle }$