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SÉANCE DU 2 JANVIER 1917.

de Cauchy. Des formules

$p(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int {\frac {f(x)}{x^{n+1}}}dx.$

avec un chemin d’intégration convenable intérieur au cercle de rayon un, et

(2)                         $f(x)={\frac {x^{\frac {1}{24}}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\log {\frac {1}{x}}}}e^{\frac {\pi ^{2}}{6\log {\frac {1}{x}}}}f\left({\frac {4\pi ^{2}}{\log {\frac {1}{x}}}}\right)$                         

(fournie par la théorie de la transformation linéaire des fonctions elliptiques), nous avons tiré, en premier lieu, la formule vraiment asymptotique

(3)                                   $p(n)\sim \mathrm {P} (n)={\frac {1}{4\pi {\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}.$                                   

On a

${\begin{alignedat}{7}p(10)&=42,&\quad &p(20)&=627,&\quad &p(50)=204\,226,&\quad &p(80)=15\,796\,476\;;\\\mathrm {P} (10)&=48,&\quad &\mathrm {P} (20)&=692,&\quad &\mathrm {P} (50)=217\,590,&\quad &\mathrm {P} (80)=16\,606\,781\;;\end{alignedat}}$

Les valeurs correspondantes de $\mathrm {P} (n):p(n)$ sont

$1,154\,;\qquad 1,104\,;\qquad 1,065\,;\qquad 1,051\,:$

la valeur approximative est toujours en excès.

4. Mais nous avons abouti plus tard à des résultats beaucoup plus satisfaisants. Nous considérons la fonction

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{1}^{\infty }{\frac {d}{dn}}\left\{{\frac {\operatorname {ch} \left[\pi {\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\,\right]-1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\right\}x^{n}.$

En faisant usage des formules sommatoires que démontre M. E. Lindelöf dans son beau livre Le calcul des résidus, on trouve aisément que $f(x)$ (on parle, il va sans dire, de la branche principale) a pour seul point singulier le point $x=1,$ et que la fonction

$\mathrm {F} (x)-{\frac {x^{\frac {1}{24}}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\log {\frac {1}{x}}}}\left(e^{\frac {\pi ^{2}}{6\log {\frac {1}{x}}}}-1\right)$

est régulière pour $x=1.$ On est conduit naturellement à appliquer le théo-