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ACADÉMIE DES SCIENCES.

Macmahon^[1], qui les ont abordés d’un point de vue purement algébrique. Ces auteurs n’y ont fait aucune application des méthodes de la théorie des fonctions, de sorte qu’on ne trouve pas, dans la théorie en question, de formules asymptotiques, telles qu’on en rencontre, par exemple, dans la théorie des nombres premiers. Il nous semble donc que les résultats que nous allons faire connaître peuvent présenter quelque nouveauté.

2. Nous nous sommes occupés surtout de la fonction $p(n),$ nombre des partitions de n. On a

$f(x)={\frac {1}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\dots }}=\sum _{0}^{n}p(n)x^{n}$          $(|x|<1)$

Nous avons pensé d’abord à faire usage de quelque théorème de caractère Taubérien : on désigne ainsi les théorèmes réciproques du théorème classique d’Abel et de ses généralisations. À cette catégorie appartient l’énoncé suivant :

Soit $g(x)=\sum a_{n}x^{n}$ une série de puissances à coefficients positifs, telle qu’on ait

$\log g(x)\sim {\frac {\mathrm {A} }{1-x}},$

quand $x$ tend vers un par des valeurs positives. Alors on a

$\log s_{n}=\log(a_{0}+a_{1}+\dots +a_{n})\sim 2{\sqrt {\mathrm {A} n}},$

quand $n$ tend vers l’infini^[2].

En posant $g(x)=(1-x)f(x),$ on a

$\mathrm {A} ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ;

et nous en tirons

(1)                                       $p(n)=e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}(1+\varepsilon )},$                                      

où $\varepsilon$ tend vers zéro avec ${\frac {1}{n}}.$

3. Pour pousser l’approximation plus loin, il faut recourir au théorème

1. Voir le grand Traité Combinatory Analysis de M. P.-A. Macmahon (Cambridge, 1916).
2. Nous avons donné des généralisations étendues de ce théorème dans un Mémoire qui doit paraître dans un autre Recueil.